Reichel Mathematik 7, Schulbuch

66 Differentialrechnung 2 Beispiel N Biøde die Abøeitung von y 2 – 2 xy + x 3 = 5 1 durch impøizites Differenzieren, 2 nach Umformung in die expøizite Form y = f (x) durch das gewohnte „expøizite Differenzieren“! Lösung: 1 2·y·y’ – 2·(1·y + x·y’) + 3 x 2 = 0 y’·(2 y – 2 x) – 2 y + 3 x 2 = 0 w y’ = 2 y – 3 x 2 _____ 2 y – 2 x 2 Durch die Gøeichung y 2 – 2 xy + x 3 = 5 werden zwei Funktionen dargesteøøt; man erhäøt sie durch Auføösen der quadratischen Gøeichung y 2 – 2 xy + x 3 – 5 = 0 nach y: y 1 = x + 9 _____ x 2 – x 3 + 5 y 1 ’ = 1 + 1/2·(x 2 – x 3 + 5) ‒1/2 ·(2 x – 3 x 2 ) y 2 = x – 9 _____ x 2 – x 3 + 5 y 2 ’ = 1 – 1/2·(x 2 – x 3 + 5) ‒1/2 ·(2 x – 3 x 2 ) Bemerkung: Beispiel N lehrt einen weiteren Vorteil des impliziten Differenzierens. Es werden auf einen Schlag gleich die Ableitungen mehrerer Funktionen berechnet. Im Kap. 5 werden wir dies mehrfach nützen. 7. Die Umkehrregel verstehen und anwenden In Beispiel M haben wir die Ableitung der Quadratwurzelfunktion durch implizites Differenzieren der Quadratfunktion – also der Umkehrfunktion zur Quadratwurzelfunktion – ermittelt. Man hät- te das Problem aber auch ohne implizites Differenzieren lösen können: Betrachten wir dazu ganz allgemein eine Funktion f und ihre Um- kehrfunktion f* . Aufgrund der Symmetrie der Graphen von f und f* bezüglich der 1. Mediane erhält man für die einander entspre- chenden Punkte P (x 0 1 f (x 0 )) und P*(f (x 0 ) 1 x 0 ) : f*’(P*) = r _ s und f’(P) = s _ r dh.: f*’(P*) = 1 ___ f’(P) Überøege anhand der Figur! Drücke das Ergebnis in eigenen Worten aus! Ergebnis: Die Steigung der Umkehrfunktion f* bei P* ist der Kehrwert der Steigung von f bei P . Da dies für alle Punkte P (x 0 1 f (x 0 )) gilt, erhält man die Regel Umkehrregeø: Ist f eine bijektive stetige Funktion, an der Steøøe x 0 differenzierbar mit f’(x 0 ) ≠ 0, dann ist ihre Umkehrfunktion f* bei f (x 0 ) differenzierbar und es giøt: f*’(f (x 0 )) = 1 ___ f’(x 0 ) Diese Regel hilft immer dann weiter, wenn man die Ableitung der Umkehrfunktion einer schwierig oder unbekannt abzuleitenden Funktion rechnerisch beherrscht. Wir werden dies in Kap. 2.5 nützen. Die konkrete Anwendung der Regel zeigt Beispiel M (Fortsetzung) Ermittøe mitteøs der Umkehrregeø den Wert der Abøeitung von a f: y = 3 9 _ x bei x 0 = 8, b f: y = 9 _ x bei x 0 = 4! Lösung: a f: R 0 + ¥ R , y = 3 9 _ x ist bijektiv, daher existiert die Umkehrfunktion f*: y = x 3 . f*’: y = 3 x 2 w f*’(f (8)) = f*’ “ 3 9 _ 8 § = f*’(2) = 3·2 2 = 12 = 1 ___ f’(8) w f’(8) = 1 __ 12 b f: R 0 + ¥ R , y = 9 _ x ist bijektiv, daher existiert die Umkehrfunktion f*: y = x 2 . f*’: y = 2 x w f*’(f (4)) = f*’ “ 9 _ 4 § = f*’(2) = 2·2 = 4 = 1 ___ f’(4) w f’(4) = 1 _ 4 + Fig. 2.16 y x P r s f P * f * r s 0 F 2.16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv