Reichel Mathematik 7, Schulbuch

6 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 Einführung (Definition) komplexer Zahlen 1. Komplexe Zahlen als Zahlenpaare bzw. Punkte der GAUSS’schen Zahlenebene darstellen 1. Wir führen eine „Zahl“ i ein, deren Quadrat ‒1 sein soll: i 2 = ‒1 Bemerkung: Wir schreiben zwar manchmal dafür i = 9 __ ‒1 , doch ist diese Schreibweise eigentlich unzu- lässig, weil sie auf Ungereimtheiten und Widersprüche führt . Für die Potenzen von i erhält man daraus: i 3 = ‒i weil i 2 ·i = ‒i i 4 = +1 weil i 2 ·i 2 = (‒1)·(‒1) = + 1 i 5 = +i weil i 4 ·i = ( + 1)·i = i i 6 = ‒1 weil i 4 ·i 2 = ( + 1)·(‒1) = ‒1 i 7 = ‒i weil … i 8 = +1 weil … Erkøäre und führe fort! Was fäøøt dir auf? Gib eine aøøgemeine Formeø für i n , n * N bzw. n * Z an! 2. „Zahlen“ (besser: Symbole) der Art b·i mit b * R heißen (rein) „imaginäre Zahlen“ . „Zahlen“ (besser: Symbole) der Art a + b·i mit a , b * R heißen „komplexe Zahlen“ . Die reelle Zahl a heißt Realteil der komplexen Zahl z = a + bi ( a = Re z ). Die reelle Zahl b heißt Imaginärteil der komplexen Zahl z = a + bi ( b = Im z ) . 1 Realteil Imaginärteil z = a + b·i (a, b * R ) Für b = 0 ergibt sich a + 0·i = a , also die reelle Zahl a . Du siehst: Die Menge C aller komplexen Zahlen umfasst (erweitert) die Men- ge R aller reellen Zahlen: R ² C Diese Teilmengenbeziehung lässt sich nach einer Idee von Carl Friedrich GAUSS in Form der so genannten GAUSS’schen Zahlen- ebene veranschaulichen. Erøäutere anhand der Figur ! Du siehst: Jeder reellen Zahl a entspricht genau ein Punkt der „reellen Achse“ , und umgekehrt. Jeder (rein) imaginären Zahl b·i entspricht genau ein Punkt der „imaginären Achse“ , und umgekehrt. Jeder komplexen Zahl z entspricht genau ein Punkt der GAUSS’schen Zahlenebene, und umgekehrt. Letzteres ist der Zuordnung Punkt ↔ Zahl auf der Zahlengeraden analog – mit einer Einschränkung: Man kann die Zahlen in der GAUSS’schen Zahlenebene nicht anordnen. Damit ist gemeint, dass keine Ordnung „ ª “ in C definiert werden kann, die – eingeschränkt auf die Teilmenge R von C – mit der in R gewohnten Ordnung „ ª “, allen Monotoniegesetzen und den Rechenregeln in R übereinstimmt, dh. verträglich ist . Dies also ist der „Preis“, den wir für die Erweiterung von R auf C „zahlen“ müssen. Möglich ist es jedoch, Rechenoperationen und Rechenregeln für die Symbole a + bi so zu definieren, dass sie – eingeschränkt auf die Teilmenge R von C – mit den gewohnten Rechenoperationen und Re- chenregeln in R übereinstimmen (verträglich sind). Dieser Sachverhalt rechtfertigt es, Ausdrücke der Form a + bi als „Zahlen“ zu bezeichnen. Zusammenfassend gilt: Durch Hinzunahme des Symbols i erhält man einen Zahlenbereich C , der den Zahlenbereich R der reellen Zahlen so umfasst (erweitert), dass alle in R gültigen Rechenregeln und Rechenmöglichkeiten auch in C erhalten bleiben. 1 Statt Re z bzw. Im z schreibt man auch Re(z) bzw. Im(z) . Dabei ist z jeweils das Argument der Funktion Re bzw. Im . 1.1 A 37 A 6 Fig. 1.2 0 1 i imaginäre Achse z = a + bi a b reelle Achse F 1.2 A 43 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv