Reichel Mathematik 7, Schulbuch

1 5 1.0 Wiederholung und Vorschau Nun gibt es aber keine reelle Zahl, deren Quadrat ‒1 ist (das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist ja größer oder gleich 0 ), daher stellen die Ausdrücke ‒2 + 3· 9 __ ‒1 und ‒2 – 3· 9 __ ‒1 keine reellen Zahlen dar. Wollen wir uns aber wirklich damit zufriedengeben zu sagen: Die Gleichung ist unlösbar? Oder sollten wir nicht besser analog zu oben versuchen, den uns derzeit zur Verfügung stehenden Bereich der reel- len Zahlen zu „erweitern“? Diese Idee entstand schon vor mehr als 400 Jahren und wurde in der Folge konsequent weitergedacht. Wir wollen im Folgenden diese Überlegungen nachvollziehen. Führen wir etwa eine neue „Zahl“ i ein, für die gelten soll: i 2 = ‒1 , so „hat“ die quadratische Gleichung x 2 + 4 x + 13 = 0 zwei „Lösungen“: x 1 = ‒2 + 3 i und x 2 = ‒2 – 3 i. Dies sieht freilich zunächst wie ein „Trick“ aus, der kaum weiterhilft. Doch dies täuscht. Wie die folgen- de Probe (Kontrolle) zeigt, erfüllen die beiden „Zahlen“ x 1 und x 2 die Gleichung und können somit zu Recht als „Lösungen“ der Gleichung angesprochen werden: Probe für x 1 : (‒2 + 3 i) 2 + 4·(‒2 + 3 i) + 13 = 0 (4 – 12 i + 9 i 2 ) + (‒8 + 12 i) + 13 = 0 (i 2 = ‒1) 4 – 12 i – 9 – 8 + 12 i + 13 = 0 0 = 0 (w.A.) Führe anaøog die Probe für x 2 aus! Dabei haben wir allerdings (stillschweigend) vorausgesetzt, dass es eine solche „Zahl“ i gibt und dass man mit ihr so rechnen kann, wie wir dies im Zuge der Probe taten. Im Folgenden wollen wir diese Vor- gangsweise in theoretischer Hinsicht durch geeignete Definitionen absichern. Geeignet heißt dabei, dass diese Zahlenbereichserweiterung von R nur so vorgenommen werden darf, dass sie mit den in R gülti- gen Rechengesetzen und Rechenregeln „verträglich“ ist. Erøäutere! | 1 Gib die 1 køeinste, 2 größte echte, unendøiche Teiømenge von R in Fig. 1.1 auf S. 4 an, die gegenüber der angegebenen Rechenoperation abgeschøossen ist! a Addition b Subtraktion c Muøtipøikation d Division 2 Für die foøgenden Zahøenbereichserweiterungen beschreibe 1 weøche neuen Zahøen dazukommen, und gib 2 zwei typische Probøeme an, die im „neuen“, aber nicht im „aøten“ Zahøenbereich øösbar sind! a N ¥ Z b Z ¥ Q c Q ¥ R | 3 Drücke die Abgeschøossenheit der angegebenen Teiømenge von R gegenüber der angeführten Rechen- operation formaø aus! a Addition in N b Subtraktion in Z c Muøtipøikation in R d Division in R \{0} | 4 Mit jeder Erweiterung bzw. Einschränkung von Zahøenbereichen gewinnt, behäøt und verøiert man gewisse Eigenschaften. Kreuze die richtigen Aussagen in der Tabeøøe an und begründe! Menge N u N g N Z Q R R + 0 Es gibt ein erstes (køeinstes) Eøement in der Menge. Es gibt stets einen unmitteøbaren Nachfoøger in der Menge. Es gibt stets einen unmitteøbaren Vorgänger in der Menge. Zwischen zwei Zahøen øiegt immer eine weitere Zahø dieser Menge. Es gibt ein øetztes (größtes) Eøement in der Menge. Die Eøemente der Menge sind durch ª geordnet. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv