Reichel Mathematik 7, Schulbuch

47 2.1 Das Tangentenproblem 2 Mittels f’(x 0 ) lässt sich unmittelbar eine Gleichung der Tangente in P angeben: Beispiel A Berechne die Steigung der Tangente im Punkt P (3 1 y P ) des Graphen von f: y = 1 _ 4 · x 2 und daraus die Hauptform der Gøeichung der Tangente t P ! Überprüfe das Ergebnis in einer Zeichnung! Lösung: x 0 = x P = 3, f (x 0 ) = y P = 1 _ 4 · 3 2 = 2,25 f’(3) = øim Δ x ¥ 0 1 _ 4 · (3 + Δ x) 2 – 1 _ 4 · 3 2 __________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 1 _ 4 · (9 + 6 · Δ x + ( Δ x) 2 ) – 1 _ 4 · 9 _______________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 1 _ 4 · 6 · Δ x + 1 _ 4 · ( Δ x) 2 __________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 (1,5 + 1 _ 4 · Δ x) = 1,5 + 0 = 1,5 = k t P : y = k · x + d ? k = 1,5 w y = 1,5 · x + d w y = 1,5 · x – 2,25 P * t P : 2,25 = 1,5 · 3 + d w d = ‒2,25 2. Die Tangente als lineare Approximation verstehen In einer hinreichend kleinen Umgebung von x 0 sind Δ y und dy „praktisch“ gleich groß; die Kurve ist dort von ihrer Tangente nur mehr „mit der Lupe“ unterscheidbar. Davon kann man sich durch (fortgesetztes) „Hineinzoomen“ überzeugen, wobei auch klar wird, dass die Approximation durch eine Gerade (also durch den Graphen einer linearen Funktion) eine sehr natürliche und nahe- liegende ist. Begründe! Man spricht daher von einer linearen Approximation von f durch g bei x 0 . Als Tangentengleichung erhält man ganz allgemein: g: y = f (x 0 ) + f’(x 0 )·(x – x 0 ) Leite diese Gøeichung anhand von Fig. 2.5a her ! Zur besseren Sprechweise gibt man die Definition Δ y heißt Differenz , dy heißt Differentiaø der Funktion f bei x 0 . Δ y __ Δ x = f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x heißt Differenzenquotient von f bei x 0 , dy __ dx = øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x = f ′ (x 0 ) heißt Differentiaøquotient von f bei x 0 . Zwischen den Differenzen und Differentialen bestehen die Satz Grundbeziehungen für Differentiaøe: 1 Δ y ≈ dy 2 Δ x = dx 3 dy = f’(x 0 ) · dx Bemerkung: Die Differentiale dy und dx werden oft – im Widerspruch zu Fig. 2.5a – als „unendlich kleine Größen“ bezeichnet. Tatsächlich sind sie endli- che Größen, die man gemäß Fig 2.4b gegen 0 gehen lässt. Ihr Quotient geht da- bei in den unbestimmten Ausdruck 0/0 über. Der Wert dieses Ausdrucks lässt sich aber als Grenzwert errechnen und gibt die Tangentensteigung an. t P x y 0 1 1 P Fig. 2.5a x = dx dy y x 0 P g = t P f + x Ú Ú Ú x 0 x 0 y F 2.5a F 2.5b F 2.5c A 182 Fig. 2.5b P Fig. 2.5c P F 2.5a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv