Reichel Mathematik 7, Schulbuch

44 Differentialrechnung In diesem Kapitel wirst du anhand der Begriffe Tangente(nsteigung) und Momentangeschwindigkeit den Kern der Differen- • tialrechnung verstehen lernen, den Ableitungsbegriff definieren und anwenden, • (Regeln für) das Differenzieren der wichtigsten Typen von Funktionen erarbeiten. • Wiederholung und Vorschau 1. Historische Wurzeln und Grundidee der Differentialrechnung wissen Die Differentialrechnung wurde an zwei, wie wir in Kap. 2.1 und 2.2 sehen werden, zwar analogen Pro- blemen, aber unabhängig voneinander vom englischen Physiker und Mathematiker Isaac NEWTON und vom deutschen Diplomaten, Philosophen und Mathematiker G. W. LEIBNIZ entwickelt. LEIBNIZ ging da- bei von einem geometrischen Problem aus, dem Tangentenproblem, NEWTON hingegen von einem phy- sikalischen Problem, dem Problem der Momentangeschwindigkeit. Isaac NEWTON (1643–1727) Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646–1716) Beim Tangentenproblem handelt es sich um die Aufgabe, an eine Kurve in einem ihrer Punkte eine Ge- rade so zu legen, dass diese die gegebene Kurve in einer (kleinen) Umgebung dieses Punktes „möglichst gut approximiert“. Dabei handelt es sich in erster Linie nicht darum, ein geometrisches Verfahren für die Konstruktion der Tangente zu (er-)finden, sondern um die Aufgabe, die Gleichung der Tangente rechnerisch zu ermitteln und (damit auch) den Begriff „Tangente“ zu präzisieren. Beim Problem der Momentangeschwindigkeit handelt es sich um die Aufgabe, zu einer ungleichförmi- gen Bewegung und einem gegebenen Zeitpunkt eine gleichförmige Bewegung so zu (er-)finden, dass diese die ungleichförmige Bewegung in einem (kleinen) Zeitintervall um den gegebenen Zeitpunkt „möglichst gut approximiert“. Dabei gilt es, die Bewegungsgleichung dieser gleichförmigen Bewegung rechnerisch zu ermitteln und (damit auch) den Begriff „Momentangeschwindigkeit“ zu präzisieren. Wir werden im Folgenden diese historische Entwicklung (mit modernen Begriffen und Symbolen) nach- vollziehen, obwohl es viele analoge Problemstellungen gibt, die letztendlich die gleiche Problematik bergen und somit in gleicher Weise zur Differentialrechnung führen: – Ermitteln der Momentanbeschleunigung ungleichförmig bewegter Körper – Berechnen der momentanen Schubkraft einer Rakete (Raketengleichung) – Ermitteln der momentanen Induktionsspannung bei elektromagnetischer Induktion – Ermitteln der momentanen Stromstärke und Spannung eines veränderlichen elektrischen Stroms – Beschreiben des zeitlichen Verlaufs elektrischer Einschaltvorgänge – Beschreiben des zeitlichen Verlaufs des (Ent-)Ladevorgangs eines Kondensators – Ermitteln des Zerfallsgesetzes radioaktiver Substanzen – Abschätzen der Auswirkung von Rundungs- und Messfehlern auf das Ergebnis, usw. 2.0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv