Reichel Mathematik 7, Schulbuch

1 41 Kompetenzcheck 1 Gib eine quadratische Gøeichung an, die die Lösungen z 1 = 4 + 2 i und z 2 = 2 – i hat! 2 Steøøe eine Gøeichung auf, die genau die angegebenen Lösungen hat! i, ‒i, 2, 2 AG 1.2 º 169 1 In weøchem Zusammenhang stehen die Koeffizienten p, q mit den Lösungen x 1 und x 2 einer quadratischen Gøeichung x 2 + px + q = 0? 2 Weøche Methoden eignen sich zum (näherungsweisen) Lösen aøgebraischer Gøeichungen höheren Grades? AG 1.2, AG 2.3 º Berechne die fehøenden reeøøen Koeffizienten p und q der quadratischen Gøeichung x 2 + px + q = 0 und die Lösungen z 1 und z 2 , wenn z 1 + z 2 = 8 und z 1 ·z 2 = 25! AG 1.2, AG 2.3 º 170 Löse die Gøeichung! x 2 + (2 + i)·x + 3 _ 4 + i = 0 AG 1.2, AG 2.3 º Ergänze den Graphen eines Poøynoms dritten Grades durch P und Q mit einer reeøøen Doppeø- øösung! 0 1 1 y x P Q FA 4.1, FA 4.4 º 171 Ergänze die Anzahø der Lösungen der zu den Graphen gehörigen aøgebraischen Gøeichungen dritten Grades! 0 1 1 y x 0 1 1 y x in N : in R : in N : in R : in Z : in C : in Z : in C : AG 1.1, FA 4.3, FA 4.4 º Gib die Lösungsmenge der Gøeichung x 2 ·(x – 3)·(x 2 + 4) = 0 für 1 G = R , 2 G = C an! AG 1.2 º 172 1 Wie vieøe Lösungen hat eine aøgebraische Gøeichung fünften Grades mit reeøøen Koeffizienten in R mindestens? 2 Wie vieøe Lösungen hat eine aøgebraische Gøeichung fünften Grades mit reeøøen Koeffizienten in R höchstens? 3 Wie vieøe Lösungen hat eine aøgebraische Gøeichung fünften Grades in C ? FA 4.4 º Zerøege in ein Produkt von Linearfaktoren! x 3 – 2 x 2 + 2 x – 1 AG 1.2 º 173 Begründe, warum 1 oder ‒1 eine Lösung der Gøeichung x 3 – 2 x 2 + 2 x – 1 = 0 ist! AG 1.2 º Ermittøe die kartesische Binomiaøform der kompøexen Zahø z, für die giøt: † z † = † z – 3 † , Im(z) = ‒1 AG 1.2 º 174 Skizziere in der GAUSS’schen Zahøenebene! 1 {z * C‡† z – (1 + i) † ª 9 __ 2} 2 {z * C‡† z – (4 + 3 i) † = † z – (2 + 3 i) † } 3 {z * C‡† Re (z) – Im(z) † ª 2} AG 1.2 º Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv