Reichel Mathematik 7, Schulbuch

4 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen In diesem Kapitel wirst du die Menge der reellen Zahlen zur Menge der komplexen Zahlen erweitern, • mit komplexen Zahlen in verschiedenen Darstellungsarten rechnen lernen, • algebraische Gleichungen systematisch untersuchen und zum Lösen mathematischer und prak- • tischer Probleme anwenden, der Mystik „imaginärer“ mathematischer Welten begegnen. • Wiederholung und Vorschau 1. Notwendigkeit von Zahlenerweiterungen verstehen Seit deiner frühen Jugend hast du mit Zahlen gerechnet: Zuerst nur mit natürlichen Zahlen, anfangs vielleicht sogar nur von 1 bis 10 , später bis 100 , usw. Danach hast du gelernt, mit Bruchzahlen und mit Dezimalzahlen zu rechnen, in der 3. Klasse sind die negativen Zahlen „dazugekommen“ und in der 4. Klasse mit den „Wurzeln“ schließlich die irrationalen Zahlen. In der 5. Klasse (S. 65) und 6. Klasse (S. 135) hast du schlussendlich gelernt, dass die reellen Zahlen einen vollständigen Zahlenkörper bilden. Dabei bedeutet das Wort „vollständig“, dass jeder reellen Zahl (dh. jeder endlichen oder unendlichen Dezimalzahl) ein Punkt der Zahlengeraden entspricht und dass umgekehrt zu jedem Punkt der Zahlen- geraden genau eine reelle Zahl gehört. Zudem hast du (vgl. etwa Buch 5. Kl. S. 66 und Buch 6. Kl. S. 118ff) Verfahren kennen gelernt, wie man die (unendlich vielen) Dezimalstellen von reellen Zahlen schrittweise berechnen kann. All diese Zahlenbereichserweiterungen wurden notwendig, weil ganz spezielle Probleme in dem jeweils zur Verfügung stehenden Zahlenbereich nicht lösbar waren. So konntest du zwar schon in der Volksschule Rechnungen wie zB 8 – 3 , 17 – 4 , 164 , 1004 usw. durchführen, nicht aber zB 6 – 8 , 3 – 7 , 125 , 104 usw. Mit anderen Worten: Die Menge der natürlichen Zahlen ist gegenüber der Sub- traktion bzw. Division nicht abgeschlossen. Mit noch anderen Wor- ten: Die Gleichungen 6 – 8 = x , 125 = x usw. sind in G = N unlösbar. Lösbar sind diese Gleichungen erst in den negativen ganzen Zahlen bzw. den Bruchzahlen, was die Erweiterung von N zu Z bzw. N zu Q rechtfertigt . Weiters hast du gelernt, dass sich 9 __ a , a º 0 im Allgemeinen weder durch eine endliche noch durch eine unendliche periodische Dezimalzahl ausdrücken lässt. Allgemeiner: Um der quadratischen Gleichung x 2 = a mit a * R , a º 0 eine Zahl als Lösung zuordnen zu können, musste man – sozusagen als „Preis“ dafür – auch unendliche nicht-periodische Ziffernfolgen als „Zahlen“ zulassen, die so genannten irrationalen Zahlen . Diese Zahlenbereichserweiterung ist jedoch nicht ausreichend, um jeder quadratischen Gleichung eine Lösung zuordnen zu können. So besitzt zB die Gleichung x 2 + 4 x + 13 = 0 keine reellen Lösungen. Die Kleine Lösungsformel (vgl. Buch 5. Kl. S. 81) x 1,2 = ‒ p _ 2 ± 9 _____ p 2 __ 4 – q führt hier nämlich auf x 1,2 = ‒2 ± 9 _____ 4 – 13 = ‒2 ± 9 __ ‒9 = ‒2 ± 3· 9 __ ‒1. 1.0 Fig. 1.1 R Q R \ Q Z Z - {0} Z + = N * N Q \ Z N ² Z ² Q ² R F 1.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv