Reichel Mathematik 7, Schulbuch

38 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 151 a Beweise: Die kompøexe Gerade y = ‒ix steht zu sich seøbst normaø. b Beweise: Je zwei Punkte der kompøexen Geraden y = ‒ix haben voneinander den Abstand nuøø. 152 In Fig. 1.14 werden die „reeøøen Vertreter“ der beiden „kompøexen Schnittpunkte“ der Parabeø y = ax 2 + bx + c mit der x-Achse konstruiert. 1 Erøäutere die Konstruktion! 2 Erkøäre die Bedeutung der reeøøen Vertreter der kompøexen Nuøøsteøøen anhand der rot gezeichneten Parabeø! Weøche Gøeichung hat die rote Parabeø? 153 Fast 100 Jahre gøaubte man, dass die n-te FERMAT-Zahø F n = 2 2 n + 1 für jedes n * N * eine Primzahø ist. Doch L. EULER 1 brachte diese Aussage 1732 mit der Feststeøøung, dass F 5 durch 641 teiøbar ist, zu Faøø. Berechne F 5 und den mit 641 korrespondierenden Teiøer, dh. den Quotienten F 5 /641! 154 Überprüfe, weøche der Primzahøen < 100 FERMAT’sche Primzahøen sind! 155 1 Gib den Konstruktionsgang der in Fig. 1.15 angegebenen exakten Konstruktion eines regeømäßigen 10-Ecks an! 2 Wie kann man daher ein regeømäßiges 5-Eck exakt konstruieren? 3 Berechne (in Ab- hängigkeit von r) die exakte Seitenøänge eines 10-Ecks einerseits aus dieser Konstruktion, andererseits aus den beiden zueinander ähnøichen Dreiecken MPQ und PQR, und vergøeiche! Fig. 1.15 M r R Q P s 10 s 10 s 10 s 10 H ò ñ ñ ñ ò Fig. 1.16 P H M 156 Fig. 1.16 zeigt eine Näherungskonstruktion eines regeømäßigen 7-Ecks! 1 Formuøiere den Konstruktions- gang mit Worten! 2 Rechne nach, um wie vieø Prozent (runde auf Promiøøe) die gemäß Fig. 1.16 kon- struierte Siebeneckseite von der „wahren“ Siebeneckseite abweicht, die gemäß der Wurzeøformeø (für die 7te Wurzeø) berechnet wurde! Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! 1 Von diesem stammt auch der Satz von MOIVRE (in der von uns auf S. 25 verwendeten Formulierung). Fig. 1.14 0 x y S S 26 155152-038 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv