Reichel Mathematik 7, Schulbuch

35 1.7 Rückblick und Ausblick 1 Satz Das regeømäßige n-Eck ist dann und nur dann aøøein mit Zirkeø und Lineaø exakt konstruierbar, wenn sich n aøs Produkt n = 2 k ·p 1 ·p 2 ·…·p r darsteøøen øässt und p 1 , p 2 , …, p r paarweise verschiedene FERMAT’sche Primzahøen sind. Nach diesem Satz lässt sich nun zwar das regelmäßige 5-Eck ( k = 0 und p 1 = 5 = 2 2 + 1 ) und 1 0-Eck ( k = 1 , p 1 = 5 ) oder auch das regelmäßi- ge 17-Eck ( k = 0 und p 1 = 17 = 2 4 + 1 ) oder das regelmäßige 51-Eck ( k = 0 , p 1 = 3 = 2 1 + 1 und p 2 = 17 = 2 4 + 1 ) allein mit Zirkel und Lineal konstruieren, nicht aber zB das regelmäßige 7-Eck ! Übrigens wurde auch dieser Satz von C. F. GAUSS (1777–1855), einem der größten Mathematiker, die je gelebt haben, bewiesen. Zur Erinne- rung an diese Leistung (des damals 19jährigen) befindet sich auf dem Sockel des GAUSS-Denkmals in Braunschweig ein 17-Eck-Stern . 5. Historische Aspekte kennen Der Übergang vom Mittelalter zur Renaissance passiert im 15. Jahrhundert. Handel und Gewerbe blü- hen und die Erfindung der Buchdruckerkunst ermöglicht die rasche Verbreitung wissenschaftlicher Er- gebnisse. Die Naturwissenschaften im modernen Sinn entstehen und erleben einen starken Aufschwung. Die Mathematik dieser Zeit ist geprägt durch die Beschäftigung mit praktischen Problemen des Rech- nens: Erfindung und Verbreitung der bis heute gängigen Rechenverfahren („Algorithmen“) für die vier Grundrechnungsarten durch die „Rechenmeister“, zB Adam RIES(E) (um 1520), M. STI(E)FEL (um 1540) und viele andere. An der 1365 in Wien gegründeten Universität, damals ein Weltzentrum der Mathema- tik, wirkten im 15. Jahrhundert bedeutende Astronomen und Mathematiker: Johannes von GMUNDEN, Georg von PEUERBACH und Johannes MÜLLER, genannt Regiomontanus. 1 Die praktischen und mathematischen Probleme dieser Zeit führten immer wieder auf algebraische Glei- chungen, deren Auflösung die Gelehrten, Rechenmeister und Kaufleute vor große Schwierigkeiten stell- te. Zwar kannten bereits die Araber viele Jahrhunderte vorher zahlreiche „Tricks“ und Methoden zur Lösung insbesondere quadratischer Gleichungen (vgl. Buch 5. Kl. S. 101), doch fehlten „formelmäßige“ Methoden zur Lösung von Gleichungen zweiten, dritten und höheren Grades. Auf diesem Gebiet waren vor allem italienische Mathematiker führend. Bei der Lösung von Gleichungen dritten Grades stießen sie um 1540 auf Formeln, die (nach dem Namen ihres Veröffentlichers 2 , dem italienischen Philosophen, Arzt und Mathematiker Geronimo CARDANO) unter dem Namen CARDAN’sche Formeln bekannt sind: Satz CARDAN’sche Formeø: Bringt man die normierte kubische Gøeichung x 3 + rx 2 + sx + t = 0 durch die Substitution x = y – r/3 in die reduzierte Form y 3 + py + q = 0, so erhäøt man aøs eine Lösung: y 1 = 3 9 ___________ 9 “ p _ 3 § 3 + “ q _ 2 § 2 – q _ 2 – 3 9 ___________ 9 “ p _ 3 § 3 + “ q _ 2 § 2 + q _ 2 1 Auch in jüngerer Zeit wirkten und wirken hier viele bedeutende Gelehrte. Informiere dich zB im Internet! 2 Entdeckt hat diese Formel Niccolo TARTAGLIA (um 1500–1557). F 1.12 Fig. 1.12 G. CARDANO (1501–1576) Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv