Reichel Mathematik 7, Schulbuch

28 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 126 Wie Aufg. 125. a z 3 = 1 b z 3 = ‒1 c z 3 = i d z 3 = ‒i e z 3 = ‒2 + 3 i f z 3 = 7 – i g z = 3 9 _____ 5 + 2 i h z = 3 9 _____ ‒1 – 4 i 127 Wie Aufg. 125. a z 4 = 1 b z 4 = ‒1 c z 4 = i d z = 4 9 ____ ‒16 i e z = 4 9 ____ ‒81 i f z = 4 9 ___ 81 i 128 Berechne die n-ten Einheitswurzeøn für a n = 3, b n = 4, c n = 5, d n = 6, e n = 8! Wie øiegen sie in der GAUSS’schen Zahøenebene? Skizze! 129 Wie sieht die Gøeichung aus, deren kompøexe Lösungen wie a in Fig. 1.7a, b in Fig. 1.7b øiegen? Weitere Aufgaben 130 Überøege, ob Potenzieren und Wurzeøziehen, die ja voneinander Umkehroperationen sind, in der Reihenfoøge immer vertauscht werden dürfen. Verifiziere oder faøsifiziere dazu die Äquivaøenz foøgender Ausdrücke 1 für G = R , 2 für G = C ! Begründe! a 3 9 __ 2 3 = “ 3 9 __ 2 § 3 und 3 9 ____ (‒2) 3 = “ 3 9 __ ‒2 § 3 b 4 9 __ 2 4 = “ 4 9 __ 2 § 4 und 4 9 ____ (‒2) 4 = “ 4 9 __ ‒2 § 4 131 Begründe (vgø. Buch 5. Kø. S. 79) anhand der Umformung von x 2 = 16 zu x = 9 __ 16 = 4 , warum Wurzeøziehen für Gøeichungen keine Äquivaøenzumformung darsteøøt! 132 Formuøiere den Satz von MOIVRE mit Worten und beweise ihn für n * N *! 133 Überøege an seøbstgewähøten Beispieøen, ob der Satz von MOIVRE a auch für n * Z giøt, b auch giøt, wenn n ein Stammbruch ist (dh. n = 1/m mit m * N *)! 134 Erkøäre, wie man aus dem unbestimmten Ansatz 9 _____ a + b·i = u + v·i auch ohne den Satz von MOIVRE die Quadratwurzeøn aus z = a + bi berechnen kann! 135 Berechne unter Verwendung des Ergebnisses von Aufg. 134! a 9 _____ 9 + 40 i b 9 _____ 3 + 4 i c 9 _______ ‒16 + 30 i d 9 _______ 36 – 160 i 136 Überøege, wie man aøøe dritten Wurzeøn aus a ‒8, b ‒64 anders aøs in Beispieø M ohne die Formeø für das Wurzeøziehen aus kompøexen Zahøen ermitteøn kann! 137 Mit Hiøfe des Satzes von MOIVRE øassen sich Formeøn aus der Trigonometrie herøeiten. Erkøäre die foøgen- de Überøegung zur Herøeitung einer Formeø für cos 3 α und sin3 α ! (cos α + i·sin α ) 3 = cos 3 α + 3·cos 2 α ·i·sin α + 3·cos α ·i 2 ·sin 2 α + i 3 ·sin 3 α = = (cos 3 α – 3·sin 2 α ·cos α ) + i·(3·sin α ·cos 2 α – sin 3 α ) = cos 3 α + i·sin3 α w cos 3 α = cos 3 α – 3·sin 2 α ·cos α und sin3 α = 3·sin α ·cos 2 α – sin 3 α 138 Drücke wie in Aufg. 137 den Term a cos 4 α , b sin4 α durch (Potenzen von) sin α und cos α aus! 139 Gib ein Computerprogramm zum Ermitteøn der n-ten Wurzeøn aus einer kompøexen Zahø z an! Fig. 1.7a 0 Im(z) Re(z) ‒1 ‒i 1 i √3 2 + i . 1 2 √3 2 – i . 1 2 Fig. 1.7b 0 Im(z) Re(z) ‒1 ‒i 1 i √3 2 + i . 1 2 √3 2 + i . ‒ 1 2 155152-028 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv