Reichel Mathematik 7, Schulbuch

27 1 1.5 Potenzieren und Wurzelziehen in C Beispiel N Berechne aøøe sechsten Wurzeøn aus 1 und steøøe sie in der GAUSS’schen Zahøenebene dar! Lösung: 1 = cos 0° + i·sin0° w ζ k = cos 0° + k·360° _______ 6 + i·sin 0° + k·360° _______ 6 ζ 0 = cos 0° + i·sin0° = 1 ζ 1 = cos 60° + i·sin60° = 1/2 + 9 __ 3/2·i ζ 2 = cos120° + i·sin120° = ‒1/2 + 9 __ 3/2·i ζ 3 = cos180° + i·sin180° = ‒1 ζ 4 = cos 240° + i·sin240° = ‒1/2 – 9 __ 3/2·i ζ 5 = cos 300° + i·sin300° = 1/2 – 9 __ 3/2·i Bemerkungen: 1) Die n-ten Wurzeln aus 1 heißen n-te Einheitswurzeln . In der GAUSS’schen Zahlenebene bilden sie ein dem Einheitskreis eingeschriebenes regelmäßiges n-Eck mit einer Ecke bei ζ 0 = 1 . 2) Beachte: ζ 3 2 = 1 , ζ 2 3 = ζ 4 3 = 1 . Begründe! Potenzieren komplexer Zahlen 117 Potenziere 1 in kartesischer Binomiaøform, 2 in der Poøardarsteøøung! Vergøeiche die Ergebnisse! a (3 – 2 i) 2 b (5 – 3 i) 2 c (‒1 + 4 i) 2 d (‒2 – 3 i) 2 e (1 – 2 i) 3 f (‒1 – 2 i) 3 g (‒2 – 3 i) 3 h (‒3 + 2 i) 3 118 Potenziere 1 in der Poøardarsteøøung, 2 in kartesischer Binomiaøform! Vergøeiche die Ergebnisse! a (2 1 30°) 2 b (2 1 60°) 2 c (3 1 105°) 2 d (3 1 195°) 2 e (1 1 30°) 3 f (1 1 60°) 3 g (2 1 105°) 3 h (2 1 195°) 3 119 Gib die gegebene kompøexe Zahø z und die zu berechnende Potenz in aøøen vier Schreibweisen an! a z = (1,5 1 35°19’), z 7 b z = ( 9 __ 3 1 151°42’), z 7 c z = 1,25 + 2,25 i, z 5 d z = ‒0,82 + 1,14 i, z 5 120 Gib ein Computerprogramm zum Ermitteøn der n-ten Potenz einer kompøexen Zahø an, wobei a in kartesischer Binomiaøform, b in Poøarkoordinatendarsteøøung gerechnet wird! Wurzelziehen aus komplexen Zahlen 121 Berechne die beiden Quadratwurzeøn in C ! a 9 __ 2/2 + i· 9 __ 2/2 b 9 __ 2 – i· 9 __ 2 c ‒4 d i 122 Gib aøøe dritten Wurzeøn an und zeichne sie in der GAUSS’schen Zahøenebene ein! a ‒4· 9 __ 3 + 4 i b ‒46 + 9 i c ‒117 + 44 i d ‒198 – 10 i 123 Gib aøøe vierten Wurzeøn an und zeichne sie in der GAUSS’schen Zahøenebene ein! a 16 b ‒16 c 1 + 9 __ 3·i d 9 __ 3 – i 124 Gib aøøe fünften Wurzeøn an und zeichne sie in der GAUSS’schen Zahøenebene ein! a 4 – 4 i b ‒128 – 128 i c 41 + 38 i d ‒38 – 41 i 125 Berechne die Lösungsmenge in C und gib die Lösungen 1 in Poøardarsteøøung, 2 in der kartesischen Binomiaøform a + bi an (zwei Dezimaøen)! a z 2 = ‒1 b z 2 = 5 i c z 2 = 1 + i d z 2 = 1 – i e z 2 = 2 + 3 i f z 2 = ‒1 + 2 i g z 2 = ‒3 – 4 i h z 2 = ‒4 + 3 i 0 Im(z) Re(z) 60 ° ‒1 ‒i 1 i √3 2 + i . 1 2 √3 2 – i . 1 2 √3 2 + i . ‒ ‒ 1 2 √3 2 – i . 1 2 155152-027 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv