Reichel Mathematik 7, Schulbuch

26 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 Satz Wurzeøformeø: ζ k = n 9 _ r· “ cos φ + k·360° _______ n + i·sin φ + k·360° _______ n § n * N * øiefert aøøe n-ten Wurzeøn ζ k aus z = r·(cos φ + i·sin φ ), wenn k aøøe ganzen Zahøen von 0 bis n – 1 durchøäuft. Bemerkungen: 1) Für k = n erhält man wieder ζ 0 , für k = n + 1 wieder ζ 1 und so fort. Begründe! 2) Mit n 9 _ r ist jene nicht negative reelle Zahl gemeint, deren n-te Potenz gleich r ist. Für r º 0 existiert ja genau eine solche Zahl! Beispiel L Berechne a aøøe dritten Wurzeøn aus z = 8·(cos 60° + i·sin60°), b aøøe vierten Wurzeøn aus z = ‒ 9 __ 2 + i· 9 __ 2! Lösung: Wir setzen in die Formeø für n 9 _ z ein und erhaøten: a k = 0: ζ 0 = 3 9 __ 8· “ cos 60° + 0·360° ________ 3 + i·sin 60° + 0·360° ________ 3 § = 2·(cos 20° + i·sin20°) = 1,88 + 0,68 i k = 1: ζ 1 = 3 9 __ 8· “ cos 60° + 1·360° _______ 3 + i·sin 60° + 1·360° _______ 3 § = 2·(cos140° + i·sin140°) = ‒1,53 + 1,29 i k = 2: ζ 2 = 3 9 __ 8· “ cos 60° + 2·360° ________ 3 + i·sin 60° + 2·360° ________ 3 § = 2·(cos 260° + i·sin260°) = ‒0,35 – 1,97 i b z = ‒ 9 __ 2 + i· 9 __ 2 w r = 2, φ = 135°, dh.: ‒ 9 __ 2 + i· 9 __ 2 = 2·(cos135° + i·sin135°) ζ 0 = 4 9 __ 2· “ cos 135° ___ 4 + i·sin 135° ___ 4 § = 4 9 __ 2·(cos 33,75° + i·sin33,75°) = 0,99 + 0,66 i ζ 1 = 4 9 __ 2· “ cos 135° + 360° _______ 4 + i·sin 135° + 360° _______ 4 § = 4 9 __ 2·(cos123,75° + i·sin123,75°) = ‒0,66 + 0,99 i ζ 2 = 4 9 __ 2· “ cos 135° + 720° _______ 4 + i·sin 135° + 720° _______ 4 § = 4 9 __ 2·(cos 213,75° + i·sin213,75°) = ‒0,99 – 0,66 i ζ 3 = 4 9 __ 2· “ cos 135° + 1080° _______ 4 + i·sin 135° + 1080° _______ 4 § = 4 9 __ 2·(cos 303,75° + i·sin303,75°) = 0,66 – 0,99 i 3. Die n-ten Wurzeln aus einer reellen Zahl ziehen Schon in der vierten Klasse – und noch genauer in der 6. Klasse (vgl. Buch. 6. Kl. S. 81) – hast du ge- lernt: Für a º 0 versteht man unter 9 __ a jene nicht negative reelle Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Sofern a º 0 ist, gibt es in R also immer genau eine Wurzel aus a , wenn a < 0 ist, gibt es in R keine Zahl, deren Quadrat a ist. Die Eindeutigkeit der Wurzel steht dabei nicht im Widerspruch dazu, dass die Gleichung x 2 – a = 0 für a > 0 in R stets zwei durch das Vorzeichen unterschiedene Lösungen 9 __ a und ‒ 9 __ a hat. Be- gründe ! Erst im Zahlenbereich der komplexen Zahlen haben nun auch negative reelle Zahlen a Quadratwurzeln, und zwar zwei verschiedene! Aber diese sind eben echt-komplex! Die Frage nach 9 __ a fällt also verschie- den aus, je nachdem, welchen Zahlenbereich wir meinen: In R gilt: 9 __ a existiert nur für a º 0 , ist dann aber eindeutig. In C gilt: Unter: 9 __ a versteht man die Menge aller komplexen Zahlen ζ , für die ζ 2 = a gilt. In C gibt es stets zwei verschie- dene Quadratwurzelwerte, außer für a = 0 . Die Aussage dieses Absatzes gilt analog für alle n > 2 . Formuøiere dies aøøgemein! Beispiel M Berechne aøøe dritten Wurzeøn aus z = ‒8! Lösung: z = ‒8 w r = 8 und φ = 180°, dh.: ‒8 = 8·(cos180° + i·sin180°) ζ 0 = 2·(cos 60° + i·sin60°) = 1 + i· 9 __ 3 ζ 1 = 2·(cos180° + i·sin180°) = ‒2 … die reeøøe Kubikwurzeø aus ‒8 ζ 2 = 2·(cos 300° + i·sin300°) = 1 – i· 9 __ 3 A 131 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv