Reichel Mathematik 7, Schulbuch

25 1 1.5 Potenzieren und Wurzelziehen in C Potenzieren und Wurzelziehen in C 1. Die n-ten Potenzen einer komplexen Zahl bilden In Kap. 1.1 und Kap. 1.4 haben wir Grundrechenoperationen in C einmal in der kartesischen Binomial- form, das andere Mal in der Polardarstellung durchgeführt. Offensichtlich ist für die Rechenoperationen 1. Stufe (Addition und Subtraktion) die kartesische Binomialform günstiger, für die Rechenoperationen 2. Stufe (Multiplikation und Division) sind beide Darstellungen etwa gleich günstig. Für die Rechenope- rationen 3. Stufe (Potenzieren und Wurzelziehen) ist – wie das folgende Beispiel zeigt – die Polardar- stellung bei weitem vorzuziehen: Beispiel K Berechne a (1 + i) 3 , b (1 + i) 8 1 in kartesischer Binomiaøform, 2 in Poøarkoordinaten! Lösung: 1 Unter Verwendung des PASCAL’schen Dreiecks (vgø. Buch 6. Kø. S. 92) erhäøt man: a (1 + i) 3 = 1 + 3 i + 3 i 2 + i 3 = 1 + 3 i – 3 – i = ‒2 + 2 i b (1 + i) 8 = 1 + 8 i + 28 i 2 + 56 i 3 + 70 i 4 + 56 i 5 + 28 i 6 + 8 i 7 + i 8 = = 1 + 8 i – 28 – 56 i + 70 + 56 i – 28 – 8 i + 1 = 16 2 (1 + i) = 9 __ 2·(cos 45° + i·sin45°) a (1 + i) 3 = 9 __ 2 3 ·(cos (3·45°) + i·sin (3·45°)) = 9 __ 8·(cos135° + i·sin135°) = 9 __ 8·(‒ 9 __ 2/2 + i· 9 __ 2/2) = ‒2 + 2 i b (1 + i) 8 = 9 __ 2 8 ·(cos (8·45°) + i·sin (8·45°)) = 2 4 ·(1 + 0) = 16 Begründe die Vorgangsweise in Beispieø K 2 und veraøøgemeinere sie zu einer Formeø! Die in Beispiel K 2 verwendete Formel nennt man den Satz Satz von MOIVRE: Für n * N * giøt: (r·(cos φ + i·sin φ )) n = r n ·(cos (n· φ ) + i·sin (n· φ )) Formuøiere den Satz mit eigenen Worten und beweise ihn ! 2. Die n-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl ziehen Definition Eine kompøexe Zahø ζ heißt n-te Wurzeø einer kompøexen Zahø z, wenn ζ n = z ist; mit anderen Worten: wenn ζ Lösung der Gøeichung x n – z = 0 ist. Aus dieser Definition ergeben sich zwei Fragen: 1. Besitzt eine komplexe Zahl z überhaupt eine n-te Wurzel in C ? Und wenn ja, gibt es vielleicht mehre- re (verschiedene)? 2. Wie berechnet man die n-te(n) Wurzel(n)? Die Frage 1 ist weder trivial noch überflüssig, denn zB existiert in R aus ‒4 keine 2-te Wurzel. Die (positive) Antwort auf die Frage 1 geben wir konstruktivistisch, indem wir ein für jedes z funk- tionierendes Verfahren zur Berechnung der n-ten Wurzeln angeben. Damit gehen wir also gleich zu Frage 2 über. Auf Frage 2 gibt die „Umkehrung“ des Satzes von MOIVRE die Antwort. Begründe! Sei z = r·(cos φ + i·sin φ ) , dann ist ζ = n 9 _ r· “ cos φ __ n + i·sin φ __ n § eine Lösung. Die vollständige Antwort auf die Frage 2 erhalten wir, wenn wir bedenken, dass das Argument φ kom- plexer Zahlen z nicht eindeutig ist. Mit φ ist auch jeder Winkel φ + k·360° (bzw. φ + k·2 π , wenn wir im Bogenmaß rechnen) ein Argument von z . Dabei ist k = 0 , ±1 , ±2 , ±3 , … Jede komplexe Zahl z besitzt in C somit n verschiedene n-te Wurzeln (außer wenn z = 0 ). Verdeutøiche dies anhand einer Skizze! 1.5 A 132 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv