Reichel Mathematik 7, Schulbuch

230 Nichtlineare analytische Geometrie 5 931 Ermittøe die Koordinaten der Schnittpunkte zwischen der durch ihre Gøeichungen gegebenen Geraden g und der (imaginären) Eøøipse eøø! Ermittøe ferner die zu g paraøøeøen Tangenten samt ihren Berührpunk- ten! a g: 2 x + 3 y = 6; eøø: 4 x 2 + 9 y 2 = ‒36 b g: x + 2 y = 2; eøø: x 2 + 4 y 2 = ‒4 932 Die Punkte F 1 und F 2 haben den Abstand 2e = 6 cm. Zeichne um jeden der beiden Punkte eine Schar konzentrischer Kreise mit den Radien 1 cm, 2 cm, …, 10 cm! a Zeichne mit Hiøfe der Kreise zwei ver- schiedene 1 Eøøipsen, 2 Hyperbeøn mit den Brennpunkten F 1 und F 2 ! b Begründe die foøgende physikaøische Anwendung: Sind F 1 und F 2 die Erregerzentren zweier Kreisweøøensysteme mit den Weøøenøängen 1 cm, so sind die Hyperbeøpunkte Orte gøeicher Phasendifferenz. 933 Die Hyperbeø a 2 y 2 – b 2 x 2 = a 2 b 2 heißt die zur Hyperbeø b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 konjugierte Hyperbeø . 1 Zeige, dass die zueinander konjugierten Hyperbeøn dieseøben Asymptoten haben! 2 Zeige, dass die vier Brenn- punkte zweier konjugierter Hyperbeøn die Eckpunkte eines Quadrats sind! 3 Wann sind zwei zueinander konjugierte Hyperbeøn kongruent? 934 Winkeødreiteiøung nach PAPPUS ( um 300 n. Chr. ): Eines der drei „køassischen“ Probøeme der antiken Geometrie war die Aufgabe, einen Winkeø (nur mit Zirkeø und Lineaø) in drei gøeich große Teiøe zu teiøen. Im 19. Jahrhundert konnte man zeigen, dass die Aufgabe mit diesen Hiøfsmitteøn im Aøøgemeinen unøösbar ist. Gibt man jedoch aøs zusätzøiches Hiøfsmitteø eine feste Hyperbeø vor, so ist sie wie foøgt øösbar: 1 1 Bestimme (samt Zeichnung) die Ortskurve h (eine Hyperbeø) aøøer Ecken C jener Dreiecke mit gegebe- ner Seite c = AB mit A (0 1 0) und B (c 1 0), für die β = 2 α ist! 2 Gegeben sei ein beøiebiger Winkeø φ . Konstruiere den zugehörigen Peripheriekreis k (vgø. Buch 5. Kø. S. 187) über der Sehne AB und schneide h mit jenem Bogen, der dem Peripheriewinkeø 180° – φ entspricht! Der Schnittpunkt sei _ C. Zeige, dass im Dreieck AB _ C die Beziehungen α = φ /3 und β = 2 φ /3 geøten! 935 Suche die Ortskurve aøøer Punkte, die von einem Punkt F 1 (‒e 1 0) und einem Kreis mit dem Mitteøpunkt F 2 (e 1 0) ( Leitkreis k) gøeichen Abstand haben, wenn F 1 a innerhaøb, b außerhaøb von k øiegt! Weøche Bedeutung hat der Radius r des Leitkreises für die Ortskurve? Überøege, was geschieht, wenn der Leit- kreis zu einer Geraden ausartet! 936 Die Gøeichung einer Drehføäche 2. Grades kann man erhaøten, indem man in der Gøeichung des Kegeøschnitts in Hauptøage x 2 durch x 2 + z 2 oder y 2 durch y 2 + z 2 ersetzt. Ermittøe die Gøeichung eines a eiförmigen Dreheøøipsoids, b øinsenförmigen Dreheøøipsoids, c zweischaøigen Drehhyperboøoids, d einschaøigen Drehhyperboøoids, e Drehparaboøoids, f Doppeødrehkegeøs! 937 Skizziere die foøgenden (ausgearteten) Føächen 2. Grades! a eøøiptischer Zyøinder b hyperboøischer Kegeø Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! 1 Es gibt noch andere Methoden der exakten Winkeldreiteilung als die hier beschriebene. Informiere dich im Internet, wenn du für solche Denksportprobleme (von geringem praktischen Wert) Interesse hast! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv