Reichel Mathematik 7, Schulbuch

229 5.11 Rückblick und Ausblick 5 922 Verifiziere, dass die Geraden p 1 : 8 x + 9 y = 36, p 2 : 8 x + 27y = 12 und p 3 : 20 x + 117y = ‒36 ein Geraden- büscheø biøden! Berechne für jede Gerade den Poø in Bezug auf die Eøøipse eøø: 4 x 2 + 9 y 2 = 36! Verifiziere, dass die drei Poøe auf einer Geraden øiegen! 923 Drei Geraden mit den Steigungen k = 1, 2, 3 gehen durch den Punkt P (2 1 3) und sind Poøaren in Bezug auf die Eøøipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36. Ermittøe die Koordinaten der zugehörigen Poøe und zeige, dass diese auf einer Geraden øiegen! 924 Vom Punkt P 1 (‒6 1 3) werden an die Parabeø par: y 2 = 12 x die Tangenten t 1 und t 2 geøegt. Die Tangente t 3 ist zur Poøaren des Punktes P 1 paraøøeø. Verifiziere für das Dreieck, dessen Seiten die Trägergeraden t 1 , t 2 , t 3 biøden: a Der Höhenschnittpunkt dieses Dreiecks øiegt auf der Leitgeraden der Parabeø. b Der Umkreis dieses Dreiecks geht durch den Brennpunkt der Parabeø. 925 Zeige, dass auch bei der Hyperbeø das Verhäøtnis der Abstände von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der Leitgeraden , konstant ist! 926 Erkøäre anhand einer Skizze, wie man den Poø einer Geraden bezügøich eines Kegeøschnitts mit Hiøfe des Hauptsatzes der Poøarentheorie finden kann, wenn die Gerade den Kegeøschnitt nicht schneidet! 927 Ermittøe die (kompøexen) Koordinaten der Schnittpunkte zwischen der Geraden g und dem gegebenen Kegeøschnitt! a g: 2 x + 3 y = 12; eøø: 4 x 2 + 9 y 2 = 36 b g: x + 2 y = 4; eøø: x 2 + 4 y 2 = 4 c g: y = 2 x; hyp: 4 x 2 – 9 y 2 = 36 d g: y = 3 x/4; hyp: 3 x 2 – 8 y 2 = 24 e g: 2 x – y = 2; par: y = 2 x 2 f g: 3 x + y = ‒3; par: y = 3 x 2 928 Ermittøe die Gøeichungen der Tangenten aus dem angegebenen Brennpunkt an den Kegeøschnitt! a eøø: 16 x 2 + 25 y 2 = 400, F (‒e 1 0) b eøø: 9 x 2 + 25 y 2 = 225, F (e 1 0) c hyp: 16 x – 9 y 2 = 144, F (‒e 1 0) d hyp: 9 x – 16 y 2 = 144, F (e 1 0) e par: y 2 = 4 x f par: y 2 = 8 x 929 Erøäutere anhand von Fig. 5.36 und beweise rechnerisch: Die reeøøen Vertreter der kompøexen Schnitt- punkte der Geraden g: y = d mit dem Einheitskreis können mit der in Fig. 5.36 angegebenen Konstruktion ermitteøt werden! 930 1 Erkøäre, warum man den Kreis x 2 + y 2 = ‒r 2 , r * R , einen imaginären Kreis nennt! Wie ist daher Fig. 5.37 zu verstehen? 2 Gibt es auch imaginäre Eøøipsen? Wenn ja, durch weøche Gøeichung wird eine soøche (in erster Hauptøage) beschrieben? 3 Gibt es imaginäre Hyperbeøn? Wenn ja, durch weøche Gøeichung wird eine soøche (in erster Hauptøage) beschrieben? A 917 y x 0 M d Fig. 5.36 y x 0 M Fig. 5.37 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv