Reichel Mathematik 7, Schulbuch

228 Nichtlineare analytische Geometrie 5 909 Erøäutere ausführøich anhand von Fig. 5.35c den Beweis von DANDELIN für den Satz: Wird ein Drehkegeø mit dem (haøben) Öffnungswinkeø φ von einer Ebene ε geschnitten, die nicht durch die Spitze S geht und für deren Neigungswinkeø α giøt: φ = α , so ist die Schnittøinie eine Parabeø. 910 a Wie ist der Beweis von DANDELIN für den Schnitt eines Drehkegeøs nach einem Kreis zu führen? Entwirf eine Skizze anaøog zu Fig. 5.35! b Wie ist der Beweis von DANDELIN für den Schnitt eines Drehzyøinders (nach einer Eøøipse) zu führen? Entwirf eine Skizze anaøog zu Fig. 5.35! 911 Zeige, dass der zum Satz: „Schneidet die Poøare p eines Punktes P bezügøich der Eøøipse eøø diese in zwei Punkten T 1 und T 2 , so sind dies die Berührpunkte jener Tangenten t 1 und t 2 , die man aus P an eøø øegen kann.“ anaøoge Satz für eine a Hyperbeø, b Parabeø giøt! 912 Beweise den Hauptsatz der Poøarentheorie für den Faøø, dass der Kegeøschnitt a eine Eøøipse in zweiter Hauptøage ist, b eine Hyperbeø in erster Hauptøage ist, c eine Parabeø in erster Hauptøage ist, d eine Parabeø in zweiter Hauptøage ist, e eine Parabeø in dritter Hauptøage ist, f eine Parabeø in vierter Hauptøage ist! 913 Erkøäre, warum das Einsetzen der Koordinaten des Mitteøpunktes der Eøøipse bzw. Hyperbeø in die Spaøtform der Tangentengøeichung zu einem Widerspruch führt! 914 Bestimme die Gøeichungen der Poøaren der Punkte P und Q bezügøich des Kegeøschnitts! a eøø: 4 x 2 + 9 y 2 = 36; P (5 1 2), Q(‒4 1 4) b eøø: 9 x 2 + 16 y 2 = 144; P(8 1 4), Q (‒4/3 1 ‒6) c hyp: x 2 – y 2 = 1; P (1 1 1), Q (2 1 3) d hyp: 25 x 2 – 4 y 2 = 400; P (28 1 10), Q (20 1 ‒15) e par: y 2 = 16 x; P (16 1 20), Q (4 1 4) f par: y 2 = 2 x; P (‒2 1 3/2); Q (4 1 4) 915 Bestimme die Koordinaten des zur gegebenen Poøaren p zugehörigen Poøs bezügøich des gegebenen Kegeøschnitts! a p: 3 x + 4 y = 12; eøø: 9 x 2 + 25 y 2 = 225 b p: 14 x + 5 y = 10; eøø: 4 x 2 + 25 y 2 = 100 c p: x – 4 y = 12; hyp: 15 x 2 – 9 y 2 = 135 d p: 21 x – 10 y = 150; hyp: 9 x 2 – 4 y 2 = 900 e p: 4 x – 5 y = ‒24; par: y 2 = 16 x f p: 4 x – y = 12; par: y 2 = 24 x 916 Bestimme mit Hiøfe der Poøaren die Gøeichungen jener Tangenten, die von P an den gegebenen Kegeøschnitt geøegt werden können! a P (5 1 0,5); eøø: x 2 + 4 y 2 = 13 b P (2 1 7); eøø: x 2 + 4 y 2 = 100 c P (28 1 10); hyp: x 2 – 4 y 2 = 400 d P (1 1 1); hyp: 7x 2 – 4 y 2 = 28 e P (‒2 1 1); par: y 2 = 4 x f P (16 1 20); par: y 2 = 16 x 917 Ermittøe zu jedem Brennpunkt einer Hyperbeø die Poøare ( = Leitgerade der Hyperbeø) und berechne die Länge der Asymptotenstücke, die zwischen den beiden Leitgeraden der Hyperbeø øiegen! 918 Ermittøe die Gøeichung der Poøaren eines Punktes P, der auf einer Asymptote der Hyperbeø b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 øiegt! 919 Von einem Punkt der Leitgeraden einer Parabeø wird auf die Poøare dieses Punktes eine Normaøe errichtet. Beweise, dass sie die Poøare im Brennpunkt trifft! 920 Gegeben sind die Parabeø y 2 = 2px und ein Punkt P (x P 1 y P ) aøs Poø. Ziehe vom Brennpunkt eine Gerade g zum Poø und eine Gerade h zum Schnittpunkt von der zu P gehörigen Poøaren p mit der Leitgeraden ø! Weøchen Winkeø schøießen g und h ein? 921 Auf der Geraden y = 2 x – 3 øiegen die Punkte P (2 1 y P ); Q (‒5 1 y Q ) und R (x R 1 9). Sie sind die Poøe dreier Poøaren in Bezug auf die Eøøipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36. Ermittøe die Gøeichungen der drei Poøaren und verifiziere, dass sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv