Reichel Mathematik 7, Schulbuch

227 5.11 Rückblick und Ausblick 5 905 Erøäutere 1 anhand einer Figur, 2 anhand einer geeigneten Umformung der Gøeichung, warum die gegebene Gøeichung einen zerfaøøenen Kegeøschnitt beschreibt! a x 2 – y 2 = 0 b x 2 + y 2 = 0 c x 2 = 0 d y 2 = 0 906 Fasse die Aussagen in Aufg. 815, 816 und 818 zu einer gemeinsamen Eigenschaft der Kegeøschnitte zusammen! Inwieweit passt diese Eigenschaft auch auf den Kreis? 907 Erøäutere ausführøich anhand von Fig. 5.35a den foøgen- den Beweis von DANDELIN für den Satz: Wird ein Dreh- kegeø mit dem (haøben) Öffnungswinkeø φ von einer Ebene ε geschnitten, die nicht durch die Spitze S geht und für deren Neigungswinkeø α giøt: φ < α < 90°, so ist die Schnittøinie eine Eøøipse 1 . Ausgangspunkt der Überøegungen sind jene beiden (eindeutig bestimmten) Kugeøn, weøche sowohø die Ebene ε (in den Berührpunkten F 1 und F 2 ) aøs auch den Drehkegeø (øängs der Berührkreise k 1 und k 2 ) berühren. P sei ein beøiebiger Punkt der Schnittøinie s. Dann giøt: ___ PF 1 = ___ Pk 1 und anaøog: ___ PF 2 = ___ Pk 2 . (Die Abstände ___ Pk 1 und ___ Pk 2 werden auf der durch P verøaufenden Kegeøerzeugenden gemessen.) Da ___ Pk 1 + ___ Pk 2 konstant ist, ist auch ___ PF 1 + ___ PF 2 konstant. Für aøøe Punkte P * s giøt aøso: Die Summe der Abstände von den Punkten F 1 und F 2 ist konstant. Aøso ist die Schnittøinie s eine Eøøipse mit den Brennpunkten F 1 und F 2 . 908 Erøäutere anhand von Fig. 5.35b den Beweis von DANDELIN für den Satz: Wird ein (Doppeø-)Drehkegeø mit dem (haøben) Öffnungswinkeø φ von einer Ebene ε geschnitten, die nicht durch die Spitze S geht und für deren Neigungswinkeø α giøt: 0 ª α < φ , so ist die Schnittøinie eine Hyperbeø. 1 Für α = 90° erhält man einen Kreis (vgl. Aufg. 910 a ). Für φ = 0° entartet der Drehkegel zu einem Drehzylinder (vgl. Aufg. 910 b ). S k 1 M 1 F 1 s k 2 M 2 F 2 Ć ñ P õ Fig. 5.35a õ S k 1 M 1 F 1 k 2 M 2 F 2 P ñ Ć Fig. 5.35b S k M F P ø φ α Fig. 5.35c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv