Reichel Mathematik 7, Schulbuch

226 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Elliptisches Paraboloid x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 – z = 0 Hyperbolisches Paraboloid x 2 __ a 2 – y 2 __ b 2 – z = 0 Zusätzlich gibt es analog zu der bis auf die Asymptoten „abgemagerten“ Hyperbel ausgeartete Flä- chen zweiten Grades, wie etwa den elliptischen, hyperbolischen bzw. parabolischen Kegel bzw. Zylinder . Weiters gibt es noch die zerfallenen Flächen zweiten Grades, wie etwa ein Ebenenpaar oder eine „Doppel“-Ebene. 900 Weise nach, dass das deøische Probøem 1 äquivaøent mit der Lösung der fortøaufenden Proportion ax = xy = y2a ist, 2 dass es äquivaøent zur Aufgabe ist, den Schnitt der Parabeø x 2 = ay bzw. y 2 = 2ax mit der Hyperbeø y = 2a 2 /x zu finden! 3 Beweise, dass die Gøeichung y = 2a 2 /x eine Hyperbeø darsteøøt! 4 Löse das deøische Probøem graphisch mit Hiøfe des Schnitts der beiden Kurven! Kontroøøiere mit dem Taschenrechner! 901 Berechne die Koordinaten des Mitteøpunktes und den Radius des Kreises, der sich ergibt, wenn man in der Scheiteøgøeichung ε = 0 setzt! 902 Eine Eøøipse (in erster Hauptøage) mit den gegebenen Achsenøängen wird in die Scheiteøøage verschoben . Wie øautet die Scheiteøgøeichung? a a = 5, b = 3 b a = 5, b = 4 903 Eine Hyperbeø (in erster Hauptøage) mit den gegebenen Achsenøängen wird in die Scheiteøøage ver- schoben. Wie øautet die Scheiteøgøeichung? a a = 4, b = 3 b a = 3, b = 4 904 Fig. 5.34 zeigt (im Aufriss) den Schnitt eines Drehkegeøs mit vier Ebenen ε 1 , ε 2 , ε 3 und ε 4 , die durch die Spitze des Kegeøs gehen. Weøche Form hat der „Kegeøschnitt“ jeweiøs, dh., was entspricht 1 einer Eøøipse, 2 einer Parabeø, 3 einer Hyperbeø, 4 einem Kreis? Veranschauøiche jeden Faøø in einer Grund- und Schrägrissskizze (anaøog zu Fig. 5.25) und erøäutere, warum man hier von zerfaøøenen Kegeøschnitten spricht! x y z a b Fig. 5.32 y z x a b Fig. 5.33 A 904 A 937 F 5.26 F 5.26 1 2 3 4 õ õ õ õ Fig. 5.34 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv