Reichel Mathematik 7, Schulbuch

225 5.11 Rückblick und Ausblick 5 Ellipse, Hyperbel und Parabel werden unabhängig davon, wie sie zum Koordinatensystem liegen, durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit zwei Variablen beschrieben. Sie sind daher nach der Gera- den, die durch eine algebraische Gleichung 1. Grades mit zwei Variablen beschrieben wird, die „ein- fachste“ Klasse von algebraischen Kurven. Im R 3 lassen sich ähnliche Überlegungen anstellen, wenn wir die Variable z hinzunehmen, also die Glei- chung Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 betrachten. Diese Gleichung stellt im All- gemeinen eine so genannte Fläche 2. Grades dar. Auch hier gibt es wie im R 2 verschiedene Typen, die man Ellipsoide, Paraboloide und Hyperboloide nennt. Am leichtesten kann man sich diese Flächen vor- stellen, wenn wir einen Kegelschnitt um eine seiner Achsen (bei der Parabel gibt es nur eine) rotieren lassen und die so erhaltene Fläche „stauchen“, wie wir es beim Kreis getan haben um eine Ellipse zu erhalten . Auch hier gibt es eine besondere Lage, in der diese Flächen sehr einfach beschrieben wer- den können, nämlich dann, wenn die Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen: Ellipsoid: x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 + z 2 __ c 2 – 1 = 0 Einschaliges Hyperboloid Zweischaliges Hyperboloid x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 – z 2 __ c 2 – 1 = 0 x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 – z 2 __ c 2 + 1 = 0 S 189 z y x c a b Fig. 5.29 z y x a b c Fig. 5.30 x y z a b c Fig. 5.31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv