Reichel Mathematik 7, Schulbuch

224 Nichtlineare analytische Geometrie 5 4. Komplexe Elemente kennen In Kap. 1 haben wir bereits gesehen, dass die Einbeziehung komplexer Zahlen neue (und oft auch über- raschende) Einsichten und (in theoretischer Hinsicht oft tiefliegende) Zusammenhänge herstellt. So auch hier: Lege Tangenten aus dem Mitteøpunkt M(0 1 0) an die Eøøipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ! Aus der Berührbedingung d 2 = a 2 k 2 + b 2 erhält man we- gen d = 0 k 2 = ‒ b 2 __ a 2 , also k = ± b _ a ·i und daher für die gesuchten Tangenten: y = b _ a ·ix und y = ‒ b _ a ·ix In Fig. 5.28 sind die reellen Vertreter dieser „komple- xen“ Tangenten eingezeichnet. Wie man sieht, erhält man als Ergebnis „fast“ die Gleichungen der Asymptoten einer Hyperbel, es ist nur b durch b·i ersetzt. Analoges gilt auch für die Berührbedingungen und die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel: Ersetzt man in der Gleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 der Ellipse die Formvariable b durch b·i , so erhält man die Gleichung der Hyperbel ‒b 2 x 2 + a 2 y 2 = ‒a 2 b 2 bzw. b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Umgekehrt funkti- oniert das genauso: Wird in der Hyperbelgleichung b durch b·i ersetzt, so erhält man die Ellipsenglei- chung. Der Zusammenhang ist aber noch enger: Schneidet man die Hyperbel b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 mit der y-Achse, also der Geraden mit der Gleichung x = 0 , so erhält man ‒a 2 y 2 = a 2 b 2 , also y = ± b·i . Man kann daher die Nebenscheitel C und D der Hyperbel als die reellen Vertreter der „wirklichen“ Nebenscheitel auffassen. Daher wird die Nebenachse der Hyperbel auch imaginäre Achse und die Hauptachse analog reelle Achse genannt. 5. Flächen zweiten Grades kennen Als Kegelschnitte haben wir die (nicht zerfallenen ) ebenen Schnitte eines Drehkegels bezeichnet. Es sind dies die Ellipse (und insbesondere der Kreis), die Hyperbel und die Parabel. Ihre Gleichungen ha- ben wir aus der charakteristischen Eigenschaft hergeleitet, dass für alle Kurvenpunkte die Abstands- summe (bzw. Abstandsdifferenz) von zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant 2a ist, bzw. dass der Ab- stand d von einer festen Geraden ø und einem festen Punkt F jeweils gleich ist. Später haben wir die Punkte F 1 , F 2 bzw. F Brennpunkte genannt, weil Spiegel, deren Profil Kegelschnittslinien sind, ganz cha- rakteristische optische Eigenschaften vermitteln. Erøäutere zB anhand des Paraboøspiegeøs! Der Einfachheit halber haben wir alle diese Überlegungen in der 1. Hauptlage durchgeführt, weil die Kegelschnitte dann durch besonders einfache Gleichungen beschrieben werden: eøø: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 par: y 2 = 2px ___ F 1 M = ___ MF 2 = e = 9 ____ a 2 – b 2 ___ F 1 M = ___ MF 2 = e = 9 ____ a 2 + b 2 d (F, ø) = p Es fällt auf, dass alle drei Kegelschnittstypen durch quadratische Gleichungen mit zwei Variablen be- schrieben werden. Unterwerfen wir den Kegelschnitt nun noch einer Drehung um den Ursprung und ei- ner anschließenden Schiebung, so bleibt diese Eigenschaft erhalten; jede der Gleichungen geht über in eine Gleichung der Bauart Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , wobei A , B , C , D , E , F * R und A ≠ 0 = C ≠ 0 . Mit anderen Worten: y x 0 1 1 Fig. 5.28 A 904 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv