Reichel Mathematik 7, Schulbuch

223 5.11 Rückblick und Ausblick 5 Beispiel Z Ermittøe die Gøeichungen der Tangenten vom Punkt P (3 1 3) an die Eøøipse eøø: x 2 + 2 y 2 = 24 und gib die Koordinaten der Berührpunkte an! Lösung: Wir bestimmen die Spaøtform der Tangentengøeichung von eøø und setzen die Koordinaten von P ein: 3 x + 2·3 y = 24 É x + 2 y = 8. Diese Gøeichung beschreibt die Poøare p von P bezügøich eøø. Wir schneiden diese Poøare mit der Eøøipse: x = 8 – 2 y w (8 – 2 y) 2 + 2 y 2 = 24 w 64 – 32y + 6 y 2 = 24 w 6 y 2 – 32 y + 40 = 0 w w 3 y 2 – 16 y + 20 = 0 w y 1 = 10/3 und y 2 = 2 Somit ist x 1 = 4/3 und x 2 = 4, und T 1 (4/3 1 10/3) und T 2 (4 1 2) sind die gesuchten Berührpunkte. Die Tangentengøeichungen erhaøten wir jetzt øeicht mit Hiøfe der Spaøtform: t 1 : 4 _ 3 · x + 20 __ 3 · y = 24 É x + 5 y = 18 und t 2 : 4 x + 4 y = 24 É x + y = 6 Bemerkungen: 1) Liegt der Punkt P insbesondere auf der Ellipse, so ist die Polare die Tangente in P an die Ellipse. Begründe! 2) Liegt der Punkt P innerhalb der Ellipse, aber nicht im Mittelpunkt M , so lässt sich formal mit Hilfe der Spaltform ebenfalls eine Polare angeben, die allerdings keine (reellen) Schnittpunkte mit der El- lipse hat. 3) Je näher P an den Mittelpunkt M der Ellipse heranrückt, umso mehr entfernt sich die Polare offen- sichtlich von der Ellipse. Liegt P genau im Mittelpunkt, so liegt die Polare offenbar „im Unendlichen“ – man sagt: sie ist die Ferngerade der Trägerebene der Ellipse. Dies zeigt sich rechnerisch darin, dass beim Einsetzen der Koordinaten von M in die Polarengleichung eine (mit endlich großem x und y ) unlösbare Gleichung entsteht. 4) Liegt umgekehrt der Pol P im Unendlichen, so sind die Tangenten von P an die Ellipse parallel. Die Polare p geht durch den Mittelpunkt M der Ellipse, ist also ein Durchmesser. Alle bisherigen Überlegungen gelten für die Hyperbel wörtlich gleich, für die Parabel analog (dort liegt ja der „Mittelpunkt“ im Unendlichen), nicht jedoch für zerfallene Kegelschnitte . Auch bei Hyperbel und Parabel findet man die Polare durch Einsetzen der Koordinaten des Pols in die Spaltform der Tan- gentengleichung. Zeige dies ! Durch Einbeziehung einer Ferngeraden entspricht bezüglich des Kegelschnitts jedem Punkt P genau ei- ne Gerade p und umgekehrt jeder Geraden p genau ein Punkt P . Durch den Kegelschnitt wird also eine bijektive Zuordnung (Funktion) zwischen den Punkten der Ebene und den Geraden der Ebene vermittelt (ebene Polarität). Mit anderen Worten: Es wird eine Abbildung vermittelt, die gänzlich anderer Natur ist als die geometrischen Abbildungen, die wir von Drehungen, Schiebungen usw. kennen bzw. bei der In- version behandelten. Dort wurden Punkte auf Punkte und Geraden auf Geraden bzw. Kreise abgebil- det. Jetzt werden Punkte auf Geraden und Geraden auf Punkte abgebildet. Dieser Sachverhalt sollte uns klar machen, warum sich die Mathematik vom geometrisch-anschaulichen Abbildungsbegriff lösen und zu einem sehr abstrakten Funktionsbegriff hinwenden musste. In der gewohnten Punkt-Punkt-Abbildung im R 2 hat das Inzidenzkriterium eine zentrale Stellung: Liegt P auf einer Geraden g , so liegt dessen Bildpunkt P’ auch auf der Bildgeraden g’ , also P * g w P’ * g’ . Das Analogon zu diesem Satz in der oben angegebenen Punkt-Gerade-Abbildung lautet – Begründe! – wie folgt: Satz Hauptsatz der Poøarentheorie (Duaøitätsprinzip): Gegeben seien ein Kegeøschnitt k und zwei Punkte P und Q. Es seien p die Poøare von P und q die Poøare von Q bezügøich des Kegeøschnitts. Dann giøt: Liegt P auf q, dann øiegt auch Q auf p, aøso: P * q w Q * p A 904 A 911 S 42 P p q k Q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv