Reichel Mathematik 7, Schulbuch

222 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Ersetzen wir noch b 2 im zweiten Summanden durch a 2 – e 2 bei der Ellipse bzw. durch e 2 – a 2 bei der Hy- perbel, sowie e/a durch ε , die so genannte numerische Exzentrizität , so ist bei der Ellipse b 2 __ a 2 = a 2 – e 2 ____ a 2 = 1 – ε 2 > 0 Hyperbel b 2 __ a 2 = e 2 – a 2 ____ a 2 = ε 2 – 1 > 0 Wir können daher alle drei Kegelschnitte durch eine Gleichung beschreiben, die so genannte Satz Scheiteøgøeichung der Kegeøschnitte: y 2 = 2px + ( ε 2 – 1)·x 2 p * R + , ε * R + 0 In Fig. 5.26 wurde p konstant gelassen und ε variiert. Wir erhalten so eine Schar von Kegelschnitten mit ei- nem gemeinsamen Scheitel, und zwar für ε 2 – 1 < 0 eine Ellipse (für ε = 0 einen Kreis), ε 2 – 1 = 0 eine Parabel, ε 2 – 1 > 0 eine Hyperbel. Aus der Scheitelgleichung wird nun die Namensgebung verständlich: Bei der Parabel ist wegen ε 2 – 1 = 0 das Quadrat über der Ordinate y flächengleich dem Rechteck aus dem Parameter 2p und der Abszisse x . Aus dem griechischen Wort „para“ für „gleichkommen“ leitete APOLLONIOS (262–190 v. Chr.) den Namen Parabel ab. Bei der Ellipse ist wegen ε 2 – 1 < 0 das Ordinatenquadrat y 2 kleiner als das betrachtete Rechteck; es liegt ein „Defekt“ vor. Aus dem entsprechenden griechischen Wort kommt der Name Ellipse. Bei der Hyperbel ist wegen ε 2 – 1 > 0 das Ordinatenquadrat y 2 hingegen größer als das betrachtete Rechteck, es liegt ein „Überschuss“ vor und daraus leitet sich der Name Hyperbel ab. Halten wir zusammenfassend fest: Ellipse (und Kreis), Hyperbel und Parabel besitzen sowohl eine ge- meinsame geometrische Erzeugung (als ebene Schnitte eines Kreiskegels) als auch eine gemeinsame al- gebraische Beschreibung (in Form der Scheitelgleichung). Diese Gemeinsamkeiten lassen – zu Recht – vermuten, dass diese Kurven noch in einer Reihe weiterer Eigenschaften übereinstimmen. Darauf wollen wir im Folgenden näher eingehen. 3. Polarentheorie kennen und anwenden Die Tangenten t 1 und t 2 in den Punkten T 1 (x 1 1 y 1 ) und T 2 (x 2 1 y 2 ) einer Ellipse ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 haben die (Spalt-)Gleichungen t 1 : b 2 x 1 x + a 2 y 1 y = a 2 b 2 und t 2 : b 2 x 2 x + a 2 y 2 y = a 2 b 2 Der Schnittpunkt P (x P 1 y P ) der beiden Tangenten liegt sowohl auf t 1 als auch auf t 2 , somit gilt: b 2 x 1 x P + a 2 y 1 y P = a 2 b 2 und b 2 x 2 x P + a 2 y 2 y P = a 2 b 2 Obige Gleichungen kann man aber auch so deuten: Sowohl T 1 als auch T 2 liegen auf einer Geraden p : b 2 x P x + a 2 y P y = a 2 b 2 , was sich durch Einsetzen der Koordinaten von T 1 bzw. T 2 sofort verifizieren lässt. Diese Gerade p heißt Polare des Punktes P bezüglich der Ellipse eøø und P heißt der Pol der Geraden p bezüglich der Ellipse . Satz Schneidet die Poøare p eines Punktes P bezügøich der Eøøipse eøø diese in zwei Punkten T 1 und T 2 , so sind dies die Berührpunkte jener Tangenten t 1 und t 2 , die man aus P an eøø øegen kann. y x 0 = 0 = 0,8 = 1,2 = 1,4 = 1,4 = 1,2 õ õ õ = 1 = 0,7 = 0,5 = 0,9 õ õ õ õ õ õ õ Fig. 5.26 A 906 P ell T 1 T 2 t 1 t 2 Fig. 5.27 F 5.27 155152-222 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv