Reichel Mathematik 7, Schulbuch

221 5.11 Rückblick und Ausblick 5 Rückblick und Ausblick 1. Über die Entstehung der Kegelschnitte Bescheid wissen Die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel waren bereits im Altertum bekannt. Man stieß auf sie beim Versuch, das delische Problem zu lösen, nämlich die Kantenlänge y eines Würfels zu konstruieren, der das doppelte Volumen eines gegebenen Würfels mit der Kantenlänge x hat. HIPPOKRATES von Chios (um 440 v. Chr.) fand heraus, dass dieses Problem äquivalent zur Lösung der fortlaufenden Proportion ax = xy = y2a ist. MENAICHMOS (um 350 v. Chr.) wandelte das Problem in den Schnitt der Parabel x 2 = ay bzw. y 2 = 2ax mit der Hyperbel y = 2a 2 /x um. Und diese beiden Kurven fand er als Schnitte eines Kreiskegels mit einer Ebene. Wir vereinfachen die Aufgabe, indem wir für den Kreiskegel einen Drehkegel γ wählen. Dabei denken wir uns den Drehkegel sowohl nach oben als auch nach unten unbegrenzt . Schneiden wir den Drehkegel γ mit einer Ebene ε , die nicht durch die Spitze des Kegels geht, so erhal- ten wir – je nach „Neigung“ der Ebene – augenscheinlich in Fig. 5.25a einen Kreis , in Fig. 5.25b eine Ellipse , in Fig. 5.25c eine Parabel und in Fig. 5.25d eine Hyperbel . Diese Vermutung lässt sich rechne- risch oder – einfacher – rein geometrisch beweisen . Dies erklärt, warum wir für Ellipse, Hyperbel und Parabel den gemeinsamen Ausdruck Kegelschnitte ge- braucht haben. Interessanterweise gehen die Namen „Ellipse“, „Hyperbel“ und „Parabel“ aber auf eine andere Eigenschaft der Kegelschnitte zurück, die wir nun herleiten wollen. 2. Gemeinsamkeiten der Kegelschnitte durch die Scheitelgleichung erkennen Da wir die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel auf dieselbe Art – nämlich als Schnitte eines Drehke- gels mit einer Ebene – erzeugen können, ist zu vermuten, dass auch die Gleichungen der Ellipse und der Hyperbel auf eine gemeinsame (und damit) zur Parabelgleichung analoge Form gebracht werden können, wenn wir nur die Ellipse und die Hyperbel in dieselbe Lage wie die Parabel bringen, nämlich in die so genannte Scheitellage . Dazu verschieben wir die in 1. Hauptlage liegende Ellipse bzw. Hyperbel parallel zur x-Achse, bis der linke bzw. rechte Hauptscheitel in den Ursprung fällt. Die Transformations- gleichung dazu lautet x = _ x – a bzw. x = _ x + a , a > 0 . Dadurch gehen die Gleichung der Ellipse bzw. Hy- perbel (in erster Hauptlage) über in ( _ x – a) 2 _____ a 2 + y 2 __ b 2 = 1 bzw. ( _ x + a) 2 _____ a 2 – y 2 __ b 2 = 1 also in y 2 = 2b 2 ___ a · _ x – b 2 __ a 2 · _ x 2 bzw. y 2 = 2b 2 ___ a · _ x + b 2 __ a 2 · _ x 2 Setzen wir noch b 2 __ a = p und schreiben statt _ x wieder x , so geht die Gleichung über in y 2 = 2px – b 2 __ a 2 ·x 2 bzw. y 2 = 2px + b 2 __ a 2 ·x 2 5.11 F 5.25 Fig. 5.25a Fig. 5.25b Fig. 5.25c Fig. 5.25d A 907‒910 õ õ õ õ Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv