Reichel Mathematik 7, Schulbuch

22 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 Die umgekehrte Aufgabe, die Umrechnung der Polar- in die Binomialform, zeigt Beispiel H Berechne Re (z) = a und Im(z) = b und gib die kartesische Binomiaøform an für: 1 z = cos π + i·sin π , 2 z = 2· “ cos π _ 2 + i·sin π _ 2 § , 3 z = (3 1 235°) Lösung: 1 z = cos180° + i·sin180° = ‒1 + i·0 = ‒1 2 z = 2·(cos 90° + i·sin90°) = 2·(0 + i·1) = 2 i 3 z = 3·(cos 235° + i·sin235°) = ‒1,72 – 2,46 i 2. Komplexe Zahlen in der Polardarstellung multiplizieren und dividieren Ein gewichtiger Vorteil der Polardarstellung komplexer Zahlen besteht darin, dass die Punktrechnungen (und die Rechenoperationen 3. Stufe – vgl. das folgende Kap. 1.5) in dieser Darstellung sehr einfach aus- geführt werden können: Satz Für z 1 = r 1 ·(cos φ 1 + i·sin φ 1 ) und z 2 = r 2 ·(cos φ 2 + i·sin φ 2 ) giøt: 1) z 1 ·z 2 = r 1 ·r 2 ·(cos ( φ 1 + φ 2 ) + i·sin ( φ 1 + φ 2 )) 2) z 1 __ z 2 = r 1 __ r 2 ·(cos ( φ 1 – φ 2 ) + i·sin ( φ 1 – φ 2 )) Beweise die Formeln mit Hilfe der Additionstheoreme (vgl. Buch 5. Kl. S. 217) für cos ( α + β ) sowie sin ( α + β ) ! Beispiel I Berechne a das Produkt z 1 ·z 2 , b den Quotienten z 1 /z 2 für z 1 = 2 + 2 i und z 2 = 1 – i 1 in der Poøar- darsteøøung, 2 in der Binomiaødarsteøøung zur Kontroøøe! Lösung: z 1 = 2 + 2 i = 9 __ 8·(cos 45° + i·sin45°) und z 2 = 1 – i = 9 __ 2·(cos 315° + i·sin315°) a 1 z 1 ·z 2 = 9 __ 8· 9 __ 2·(cos (45° + 315°) + i·sin (45° + 315°)) = 9 __ 16·(cos 360° + i·sin360°) = 4·(1 + i·0) = 4 2 z 1 ·z 2 = (2 + 2 i)·(1 – i) = 2·(1 + i)·(1 – i) = 2·(1 – i 2 ) = 2·2 = 4 b 1 z 1 /z 2 = 9 __ 8/ 9 __ 2·(cos (45° – 315°) + i·(sin (45° – 315°)) = 2·(cos (–270°) + i·sin (–270°)) = = 2·(cos 90° + i· sin90°) = 2·(0 + i·1) = 2 i 2 z 1 /z 2 = (2 + 2 i)·(1 + i)/((1 – i)·(1 + i)) = (2 + 2 i + 2 i + 2 i 2 )/2 = 2 i 3. Teilmengen der GAUSS’schen Zahlenebene beschreiben Mit komplexen Zahlen kann man nicht nur einzelne Punkte der GAUSS’schen Zahlenebene beschreiben, sondern auch Punktmengen (Kurven und Teilgebiete) in dieser, und das in besonders einfacher Form. Damit wird die GAUSS’sche Zahlenebene und das Rechnen mit komplexen Zahlen für den Ingenieur zu einem wichtigen Modell der Geometrie im R 2 . Beispiel J Weøche Teiømenge der GAUSS’schen Zahøenebene wird durch 1 {z * C‡† z † = 1}, 2 {z * C‡π < φ < 3 π /2} beschrieben? Lösung: 1 Aøøe Punkte, die vom Ursprung O den Ab- 2 Es wird der 3. Quadrant (ohne die ihn be- stand 1 haben, øiegen auf dem Einheitskreis . grenzenden Haøbgeraden) beschrieben: 0 1 i Re(z) Im(z) 0 1 i Re(z) Im(z) A 112 A 113 + K 1.7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv