Reichel Mathematik 7, Schulbuch

219 5.10 Parameterdarstellung von Raumkurven und Flächen 5 2. Flächen mit Hilfe einer Parameterdarstellung beschreiben Anders als bei Kurven, wo man einen Parameter benötigt, braucht man für die Parameterdarstellung einer Fläche zwei Parameter: Leite aus Fig. 5.24 eine Parameterdarsteøøung der Kugeø her! Jeder Punkt P (x 1 y 1 z) eines Breitenkreises mit dem Radius r 1 der Kugel hat die Darstellung x = r 1 ·cos φ , y = r 1 ·sin φ , z = r·sin θ , wobei r 1 = r·cos θ ist. Mit φ (0 ª φ < 2 π ) und θ (‒ π /2 ª θ ª π /2) erhält man die folgende Para- meterdarstellung der Kugel x ( φ , θ ) = r cos θ cos φ , y ( φ , θ ) = r cos θ sin φ , z ( φ , θ ) = r sin θ Bemerkungen: 1) Streckt man den Radius r der Kugel in x-Richtung auf die Länge a , in y-Richtung auf die Länge b und in z-Richtung auf die Länge c , so erhält man die Parameterdarstellung eines dreiachsigen Ellipsoids : x = a cos θ cos φ , y = b cos θ sin φ , z = c sin θ . Wie bei der Kugel braucht man auch hier zwei Parameter (selbst wenn bei z nur einer auftritt). 2) Hält man einen der beiden Flächenparameter konstant oder setzt ihn in eine funktionale Abhängig- keit zum anderen, so geht die Parameterdarstellung der Fläche über in eine Parameterdarstellung einer auf dieser Fläche liegenden Kurve. 3) Hält man z konstant, so bekommt man Höhenschichtenlinien. Diese eignen sich oft sehr gut zum Darstellen der Fläche (siehe Landkarten). Beispiel W Gib eine Parameterdarsteøøung des in der Höhe z = r/2 øiegenden Breitenkreises an! Lösung: z = r/2 = r·sin θ w θ = 30°. Daher ist x = r·cos 30°·cos φ und y = r·cos 30°·sin φ . Insgesamt erhäøt man für den Breitenkreis in Abhängigkeit vom Parameter φ die Darsteøøung: x ( φ ) = r · 9 _ 3 /2 · cos φ , y ( φ ) = r· 9 _ 3/2 · sin φ , z ( φ ) = r/2 mit 0 ª φ < 2 π Beispiel X Fertige eine Skizze des durch x = cos (u) · (1/v), y = sin (u) · (1/v), z = ‒v mit 0 ª u < 2 π , ‒5 ª v < 0 gegebenen Føächenstückes an! Lösung: Für konstantes z giøt x 2 + y 2 = 1/v 2 = konst. Die Höhenschichtøinien sind daher Kreise mit dem Ursprung aøs Mitteøpunkt, es handeøt sich aøso um eine Drehføäche mit der z-Achse aøs Rotationsachse. Die (in der xz-Ebene øiegende) erzeugende Kurve kann man durch Nuøøsetzen von y erhaøten: sinu = 0 w u = 0. Die erzeugende Kurve hat daher die Parameterdarsteøøung x = 1/v, z = ‒v Die parameterfreie Darsteøøung ist aøso x = ‒1/z, eine Hyperbeø. Beispiel Y Modeøøiere die Außenkante des Dorns des Korkenziehers! Lösung: Die dargesteøøte Spiraøøinie unterscheidet sich von einer Schraubøinie dadurch, dass sie statt auf einem Drehzyøinder auf einem nach oben breiter werdenden Drehkegeø øiegt. Der Abstand 9 ____ x 2 + y 2 eines Punktes P (x 1 y 1 z) der Spiraøøinie von ihrer Achse ist aøso nicht konstant r, sondern wächst ebenso wie die Höhe z direkt proportionaø mit dem Drehwinkeø t, dh.: 9 ____ x 2 + y 2 = r · t. Wir erhaøten damit die Parameterdarsteøøung der (konischen) Spiraøøinie : x (t) = r·t·cos t, y (t) = r·t·sin t, z (t) = p·t mit t * R + 0 P z y x Ć ø Fig. 5.24 A 895 155152-219 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv