Reichel Mathematik 7, Schulbuch

218 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Parameterdarstellung von Raumkurven und Flächen 1. Raumkurven mit Hilfe der Parameterdarstellung beschreiben Gib ein mathematisches Modeøø für den Handøauf einer Wen- deøtreppe an! Es liegt eine so genannte Schraublinie vor. Diese Raumkurve ent- steht als Bahn eines Punktes P (x 1 y 1 z) , der gleichzeitig gedreht und parallel zur Drehachse verschoben wird, und zwar um eine zum Drehwinkel t (Bogenmaß!) proportionale Strecke. Für die in Fig. 5.23 gegebene Aufstellung erhält man die Parameterdarstellung der Schraublinie : x (t) = r·cos t, y (t) = r·sin t, z (t) = p·t mit t * R + 0 Bemerkungen: 1) Zu jedem (festen) Drehwinkel φ gehört eine (feste) Schiebstre- cke s . Die zu einer vollen Umdrehung ( φ = 2 π ) gehörige Schiebstrecke heißt Ganghöhe h der Schraubung. Die Verhält- niszahl p = h2 π = s φ heißt Schraubparameter . 2) Alle Punkte einer Schraublinie haben von der Schraubachse a denselben Abstand r . Daher liegt die Schraublinie auf einer Drehzylinderfläche mit der Drehachse a und dem Radius r . 3) Man unterscheidet je nach Drehsinn zwischen Linksschraubung Rechtsschraubung (Sicherungsschrauben, (Drehverschluss einer linksgewendelte Treppen) Flasche, Heizkörperventil) An den beiden Säulen der Karlskirche in Wien kann man sehr schön je eine links- und eine rechts gewendelte Schraublinie sehen. Um eine in Parameterdarstellung gegebene Kurve zu zeichnen, kann man beispiels- weise den Grundriss als Schrägriss dar- stellen und dann durch Auftragen der z- Werte die Kurve zeichen . Die Schraublinie hat nicht nur in der Technik eine überragende Bedeutung , sondern auch in der Biologie, da die DNS aus zwei schraublinigen Polynuk- leotidfäden besteht, die mit Wasserstoffbrücken verbunden sind . Diese sind daher Teil einer Wendelfläche. 5.10 Fig. 5.22 F 5.22 F 5.23 A 887 s 12s = h 2s 3s 4s k a Ć Ć Ć Ć Fig. 5.23 Linksschraubung DNA 3,4 nm 0,34 nm 1 nm F 5.23 A 888 A 889 Rechtsschraubung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv