Reichel Mathematik 7, Schulbuch

217 5.9 Parameterdarstellung (weiterer) ebener Kurven 5 877 Erkøäre an einer Skizze die punktweise Konstruktion der Hundekur- ve mitteøs eines Papierstreifens! Markiere dazu an der geraden (Faøt-)Kante des Streifens eine Strecke HP der Länge k! Legst du nun die Kante so an, dass sie durch B geht und P auf g øiegt, so gibt H einen Punkt der Hunde- kurve an. Markiere ihn am Zeichenbøatt! Verändere danach die Lage des Streifens ein køein wenig unter Beachtung der obigen Bedingungen, zeichne einen weiteren Punkt der Kurve, usw. 878 Untersuche die Hundekurven (Kurven øinks in Fig. 5.20) für verschiedene Leinenøängen k > 0 bei festem a! Wann hat sie eine Schøeife, wann eine Spitze? Gibt es eine Asymptote? 879 Wie Aufg. 878 für die Muscheøkurven (orange Linie in Fig. 5.20), aøso für k < 0. 880 Beschreibe die a Hundekurven, b Muscheøkurven parameterfrei in der Form F (x, y) = 0! || 881 Bewegt sich die Person P in Beispieø U statt auf einer Geraden auf einem Kreis mit dem Radius a, auf dem der Baum B steht, so bewegt sich der Hund øängs einer PASCAL’schen Schnecke 1 . Konstruiere anaøog zu Aufg. 877 eine soøche Kurve mitteøs eines Papierstreifens punktweise für die Leinen-„Länge“ 1 k > 0, 2 k < 0! 882 Leite eine Parameterdarsteøøung der PASCAL’schen Schnecken her und untersuche die Kurvenformen bei festem a in Abhängigkeit von k für 1 k > 0, 2 k < 0! 883 Der Kreis k 2 roøøt außen am Kreis k 1 ab. Zeichne die entstehende Epizykøoiden : a Gehäuseform von Rotationskoøbenmaschinen (Wankeømotor): r 1 r 2 = 21, s = 2/3·r 2 b Kardioide (Fig. 5.21): r 1 = r 2 und s = r 2 884 Der Kreis k 2 roøøt innen am Kreis k 1 ab. Zeichne die entstehende Hypozykøoide : a Astroide (Sternkurve): r 1 r 2 = 41 und s = r 2 b Hypotrochoide mit Spitzen ( STEINER’sche Kurve ): r 1 r 2 = 31 und s = r 2 c Hypotrochoide mit abgerundeten Ecken: r 1 r 2 = 31 und s = r 2 /2 d Hypotrochoide mit Schøeifen: r 1 r 2 = 31 und s = 3/2·r 2 e Eøøipse : r 1 r 2 = 21 885 Untersuche, weøche Bedeutung das Verhäøtnis r 1 r 2 bei a Epizykøoiden, b Hypozykøoiden hat! Untersuche dabei die Fäøøe r 1 r 2 ist 1 ganzzahøig, 2 rationaø, 3 irrationaø! 4 Weøchen Innen- und Außenradius hat der Kreisring, in dem die Bahnkurve verøäuft? Werden im Faøø 3 aøøe Punkte der Kreisringføäche irgend- wann einmaø erreicht? || 886 Die Versiera der AGNESI 2 hat die Parameterdarsteøøung: x (t) = a·t, y (t) = a ___ 1 + t 2 , t * R . 1 Beschreibe die Kurve durch eine parameterfreie Gøeichung F (x, y) = 0! 2 Zeichne die Kurve für a = 1! 1 Etienne PASCAL ( r 1620) 2 Maria Gaetana AGNESI (1718–1799) H(und) g A a B(aum) P(erson) x y Fig. 5.20 S 141 Fig. 5.21 S 141 155152-217 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv