Reichel Mathematik 7, Schulbuch

216 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Parameterdarstellung (weiterer) ebener Kurven Schon beim Problem der Momentangeschwindigkeit und beim Exkurs zu Kap. 3 haben wir über Sinn und Zweck der Parameterdarstellung von Kurven gesprochen. Parameterdarstellungen haben wir bereits kennen gelernt für die Gerade (vgl. Buch 6. Kl. S. 30), für den Kreis (S. 175), die Ellipse (S. 190), die Hyperbel (S. 197) und die Parabel (S. 200). Im Folgenden sollst du – als Anregung zu eigenem Ent- decken – erleben, welchen Schatz an weiteren interessanten und formschönen Kurven man mit Para- meterdarstellungen beschreiben kann. Beispiel U Eine Person P führt an einer Leine mit der Länge k einen Hund H. Dieser wiøø zu einem im Abstand a neben der Straße g stehenden Baum B geøangen und zieht deswegen fortwährend in Richtung zu diesem. Bewegt sich P øängs der geradøinigen Straße g, so bewegt sich H øängs einer so genannten Hundekurve . Beschreibe sie durch eine Parameterdarsteøøung! Lösung: Wir verwenden die Länge h der Streck PA aøs Parameter. Mitteøs des pythagoreischen Lehrsatzes erhaøten wir aus dem Dreieck BAP x 2 + y 2 = “ 9 ____ a 2 + h 2 – k § 2 . (*) und aus dem dazu ähnøichen Dreieck x : y = a : h, aøso y = h _ a x. Einsetzen für y in (*) øiefert x 2 · a 2 + h 2 ____ a 2 = “ 9 ____ a 2 + h 2 – k § 2 , und daraus nach wenigen Umformungen die Parameterdarsteøøung: x (h) = a · “ 1 – k _____ 9 ____ a 2 + h 2 § , y (h) = h · “ 1 – k _____ 9 ____ a 2 + h 2 § mit h * R Bemerkung: Je nach Wahl der Formvariablen a > 0 und k > 0 liefert das mathematische Modell der Hun- dekurve eine Schar verschieden geformter Kurven . Lässt man auch k < 0 zu (was bedeutet, dass der Hund – eher unrealistisch – immerzu vom Baum B wegzieht ), so erhält man eine zweite Schar von Kurven, die (wegen ihrer Form und in Andenken an ihren Erfinder) Konchoiden (Muschelkurven) des NIKOMEDES ( r 250 v. Chr.) heißen . Beispiel V Wenn ein Kreis ohne zu gøeiten auf einer Geraden abroøøt, beschreibt ein mit ihm fest verbundener Punkt P eine Kurve, die (gewöhnøiche) Zykøoide 1 heißt. Liegt der Punkt P auf dem Kreisumfang, so entsteht eine spitze Zykøoide (bøaue Kurve). Liegt P innerhaøb des Kreises, so ergibt sich eine gestreckte Zykøoide (rote Kurve), øiegt P hingegen au- ßerhaøb des Kreises, dann erhäøt man eine verschøungene Zykøoide (grüne Kurve). Leite eine Parameterdarsteøøung dieser Kurve her! Lösung: Sei r der Radius des Kreises, s der Abstand des Punktes P vom Kreismitteøpunkt M und t das Bogenmaß des Winkeøs, um den sich der Kreis gedreht hat, dann gibt r·t die vom Kreis „überroøøte“ (geøb markierte) Wegøänge an. Dies führt auf die Parameterdarsteøøung x (t) = r·t – s · sin t und y (t) = r – s·cos t. Bemerkung: Rollt der Kreis – statt wie in Beispiel V auf einer Geraden – auf einem zweiten Kreis ab, so kann er das außen oder innen tun . Im ersten Fall heißt die entstehende Rollkurve Epizykloide 2 , im zweiten Fall Hypozykloide 3 . Die Parameterdarstellungen dieser Kurven haben wir schon auf S. 141 hergeleitet. 1 cyclus (lat.)…Kreis 2 epi (griech.)…auf 3 hypo (griech.)…unter 5.9 S 50 S 140f x y a y k x h g A P H B A 878 A 879 rt M P r A 883 A 884 155152-216 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv