Reichel Mathematik 7, Schulbuch

213 5.8 Die Kugel 5 2. Tangenten und Tangentialebenen an die Kugel legen Wie beim Kreis kann man die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Kugel untersuchen. Auch hier hängt es vom Abstand der Geraden vom Kugelmittelpunkt ab, ob es zwei gemeinsame Punkte, einen oder keinen gemeinsamen Punkt gibt, ob also die Gerade Sekante, Tangente oder Passante bezüglich der Kugel ist. Dieselben Fragen kann man sich auch bezüglich der gegenseitigen Lage einer Ebene und einer Kugel stellen. Analog zur Geraden hängt das Schnittgebilde vom Abstand d der Ebene vom Kugelmittelpunkt ab : 1. Ist d < r , so schneidet die Ebene aus der Kugel k einen Schnittkreis heraus . 2. Ist d = r , so berührt die Ebene die Kugel in einem Punkt, dem Berührpunkt ; die Ebene ist eine Tan- gentialebene (Berührebene) . Die Berührebene τ geht durch den Berührpunkt T und steht auf den Berührradius normal; sie hat daher die Normalvektorgleichung τ : (X – T)·(M – T) = 0 Sämtliche Tangenten in einem Kugelpunkt bilden die Berührebene durch diesen Punkt . 3. Ist d > r , so haben die Ebene und die Kugel keine Punkte gemeinsam . Beispiel T 1 Schneide die Gerade g[A (2 1 ‒3 1 3), B (1 1 ‒2 1 5)] mit der Kugeø k [M(‒3 1 5 1 1); 9]! 2 Bestimme die Menge jener Punkte von g, die innerhaøb von k øiegen! 3 Gib in den Schnittpunkten von g mit k jeweiøs die Gøeichung der Berührebene an! Lösung: 1 Die Gøeichung der Geraden g durch A und B ist: g: X = A + t·(B – A) w X = (2 1 ‒3 1 3) + t·(‒1 1 1 1 2) t * R Die Gøeichung der Kugeø mit dem Mitteøpunkt M und dem Radius r øautet: k: (X – M) 2 = r 2 w (X – (‒3 1 5 1 1)) 2 – 81 = 0 Die Schnittpunkte von k und g müssen beide Gøeichungen erfüøøen. Wir setzen daher für X aus der ersten Gøeichung in die zweite ein ((2 1 ‒3 1 3) + t·(‒1 1 1 1 2) – (‒3 1 5 1 1)) 2 – 81 = 0 w ((5 1 ‒8 1 2) + t·(‒1 1 1 1 2)) 2 – 81 = 0 w (5 – t) 2 + (‒8 + t) 2 + (2 + 2 t) 2 – 81 = 0 w t 2 – 3 t + 2 = 0 w t 1 = 1 bzw. t 2 = 2 und erhaøten durch Einsetzen von t 1 bzw. t 2 in die Geradengøeichung: S 1 = (2 1 ‒3 1 3) + 1·(‒1 1 1 1 2) = (1 1 ‒2 1 5) und anaøog S 2 = (0 1 ‒1 1 7). 2 Aøøe Punkte der Geraden mit Parameterwerten zwischen t 1 = 1 und t 2 = 2 øiegen innerhaøb der Kugeø, und umgekehrt haben auch aøøe Punkte der Sehne S 1 S 2 Parameterwerte zwischen t 1 und t 2 . Die gesuchten Punkte biøden daher die Strecke X = (2 1 ‒3 1 3) + t·(‒1 1 1 1 2) t * ]1; 2[ 3 Wir setzen in der Gøeichung (X – T)·(M – T) = 0 der Berührebene für M und T ein: τ 1 : (X – (1 1 ‒2 1 5))·(‒4 1 7 1 ‒4) = 0 w 4 x – 7y + 4 z = 38 τ 2 : (X – (0 1 ‒1 1 7))·(‒3 1 6 1 ‒6) = 0 w x – 2 y + 2 z = 16 F 5.19 F 5.19a F 5.19b F 5.19c M N k d < r Fig. 5.19a M τ T d = r Fig. 5.19b M d > r Fig. 5.19c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv