Reichel Mathematik 7, Schulbuch

212 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Die Kugel 1. Definition und Gleichung der Kugel kennen und anwenden Analog zur Definition des Kreises definieren wir die Kugel: Definition Die Menge aøøer Punkte X des Raumes , die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kugeø(føäche) k mit dem Mitteøpunkt M und dem Radius r: k [M; r] = {X ‡ __ XM = r} Bemerkung: Wie beim Kreis ist die Bezeichnung Kugel nicht eindeutig. Einmal wird darunter ein Körper (der offene bzw. abgeschlossene Kugelraum) verstanden, ein anderes Mal eine Fläche (Kugelfläche oder „Kugelsphäre“). Allerdings ist aus dem Zusammenhang im Allgemeinen klar, was jeweils gemeint ist. Wir werden daher überall dort, wo keine Gefahr einer Verwechslung auftreten kann, sowohl statt Ku- gelfläche als auch statt Kugelraum den Ausdruck Kugel verwenden. Ebenfalls analog zur Gleichung des Kreises erhalten wir die verschiedenen Formen der Gleichung einer Kugel k [M(x M 1 y M 1 z M ); r] : Satz Kugeøgøeichungen: X … øaufender Punkt, M … Mitteøpunkt, r … Radius Vektorform Koordinatenform (Spezieøøe) Kugeøgøeichung (X – M) 2 = r 2 (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 + (z – z M ) 2 = r 2 Aøøgemeine Kugeøgøeichung A, B, C, D, E * R , A·X 2 + 2 · “ B C D § · X + E = 0 Ax 2 + Ay 2 + Az 2 + 2Bx + 2Cy + 2Dz + E = 0 A ≠ 0 Liegt der Mitteøpunkt im Ursprung, so øauten die entsprechenden Gøeichungen: (Spezieøøe) Kugeøgøeichung X 2 = r 2 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Aøøgemeine Kugeøgøeichung A, E * R , A ≠ 0 A·X 2 + E = 0 Ax 2 + Ay 2 + Az 2 + E = 0 Bemerkungen: 1) Mit Hilfe der Kugelgleichung kann man feststellen, ob ein Punkt auf der Kugelfläche liegt oder nicht. (Vgl. das allgemeine Inzidenzkriterium in Buch 5. Kl. S. 251!) 2) Die allgemeine Gleichung der Kugel entsteht aus der Kugelgleichung durch Ausquadrieren, Zusam- menfassen und Multiplizieren mit A ≠ 0 . Beachte, dass daher die quadratischen Glieder (wie beim Kreis) stets die gleichen Koeffizienten haben müssen. Die Koeffizienten bei den linearen Gliedern haben (vereinbarungsgemäß) den Faktor 2 , damit man leichter in die Koordinatenform zurück trans- formieren kann. Beispiel S Ermittøe aus der aøøgemeinen Gøeichung von k: 2 x 2 + 2 y 2 + 2z 2 + 8 x – 3 y + 5z – 4 = 0 den Mitteøpunkt M und den Radius r! Lösung: Wir dividieren die Gøeichung zunächst durch 2 und ergänzen wie beim Kreis zu voøøständigen Quadraten: x 2 + 4 x + 4 + y 2 – 3 _ 2 ·y + 9 __ 16 + z 2 + 5 _ 2 ·z + 25 __ 16 = 2 + 4 + 9 __ 16 + 25 __ 16 und daher (x + 2) 2 + “ y – 3 _ 4 § 2 + “ z + 5 _ 4 § 2 = 130 ___ 16 Daraus können wir abøesen: k $ M “ ‒2 † 3 _ 4 † ‒ 5 _ 4 § ; 1 _ 4 · 9 __ 130 % 5.8 S 173 M X r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv