Reichel Mathematik 7, Schulbuch

211 5.7 Schnitt- und Berühraufgaben 5 849 Überøagerungen von Weøøen: Die beiden Punkte F 1 und F 2 puøsieren im Gøeichtakt und sind Ausgangspunkte von einander überøagernden Kreisweøøen. In nebenstehender Abbiødung sind die Weøøenberge durchgezogene Kreisøinien, die Weøøentäøer hingegen strichøierte. Die bøauen Zonen dauernder Ausøöschung øiegen bei aøøen Punkten P, für die der Wegunterschied ‡ PF 1 – FP 2 ‡ ein ungeradzahøiges Vieøfaches der haøben Weøøenøänge ist, für die aøso ‡ ø 1 – ø 2 ‡ = (2n + 1) λ /2 giøt (n * N ). a Begründe, dass es sich dabei um konfokaøe Hyperbeøn handeøt. b Untersuche, wo die Zonen dauernder Verstärkung øiegen! 850 Zwei kongruente Eøøipsen eøø 1 und eøø 2 in erster bzw. zweiter Hauptøage mit der Hauptachsenøänge 2a haben die gemeinsame Tangente t: x + y = d. Die Länge der haøben Nebenachse b ist so zu wähøen, dass das zwischen den Koordinatenachsen øiegende Stück der Tangente t vom Berührpunkt T 1 von eøø 1 und vom Berührpunkt T 2 von eøø 2 in drei gøeich øange Strecken geteiøt wird. 1 Ermittøe die Gøeichungen der Eøøipsen eøø 1 und eøø 2 und die Gøeichungen der gemeinsamen Tangenten! Berechne 2 die Koordinaten der im ersten Quadranten øiegenden Punkte T 1 und T 2 und 3 die Koordinaten der Schnittpunkte der Eøøipsen eøø 1 und eøø 2 ! a a 2 = 24 b a 2 = 54 c a 2 = 96 851 Gegeben sind eine Eøøipse eøø: b 1 2 x 2 + a 1 2 y 2 = a 1 2 b 1 2 und eine konfokaøe Hyperbeø hyp: b 2 2 x 2 – a 2 2 y 2 = a 2 2 b 2 2 . Berechne 1 die Koordinaten der Schnittpunkte und 2 die Größe des Schnittwinkeøs der beiden Kegeø- schnitte! a a 1 2 = 25; b 1 2 = 9; b 2 2 = 4 b a 1 2 = 16; b 1 2 = 7; a 2 2 = 5 c a 1 2 = 6; b 1 2 = 3; b 2 2 = 1 d a 1 2 = 8; b 1 2 = 2; a 2 2 = 3 e a 1 2 = 12; b 1 2 = 4; b 2 2 = 2 f a 1 2 = 12; b 1 2 = 6; b 2 2 = 2 g a 1 2 = 15; b 1 2 = 10; b 2 2 = 4 h a 1 2 = 16; b 1 2 = 12; a 2 2 = 1 852 Bestimme die gemeinsamen Tangenten an die beiden gegebenen Kurven! a x 2 + y 2 = 2; x 2 + 3 y 2 = 3 b x 2 + y 2 = 9; 16 x 2 – 25 y 2 = 400 c 4 x 2 + 3 y 2 = 12; 4 x 2 – 3 y 2 = 24 d 5 x 2 + 4 y 2 = 36; x 2 – y 2 = 36 e x 2 + 2 y 2 = 8; y 2 = 8 x f x 2 – 2 y 2 = 50; y 2 = 20 x g x 2 + y 2 = 25; y 2 = 16 x h 2 x 2 + 3 y 2 = 6; 3 x 2 + 2 y 2 = 6 853 Beweise, dass die auf S. 205 angegebenen Konstruktionen den Schmiegkreis øiefern, und zwar für a einen Hauptscheiteø einer Eøøipse (Fig. 5.14a bøaue Konstruktion), b einen Hauptscheiteø einer Eøøipse (Fig. 5.14a orange Konstruktion), c einen Nebenscheiteø einer Eøøipse (Fig. 5.14a bøaue Konstruktion), d einen Nebenscheiteø einer Eøøipse (Fig. 5.14a orange Konstruktion), e einen Hauptscheiteø einer Hyperbeø (Fig. 5.14b), f den Scheiteø einer Parabeø (Fig. 5.14c)! 854 Weise nach, dass in einem Scheiteø ein Kegeøschnitt und sein Schmiegkreis auch in der dritten Abøeitung übereinstimmen, und zwar für a einen Hauptscheiteø einer Eøøipse, b einen Nebenscheiteø einer Eøøipse, c einen Hauptscheiteø einer Hyperbeø, d den Scheiteø einer Parabeø! X F 1 ø 2 ø 1 F 2 λ 2 ø 1 –ø 2 =0 ø 1 –ø 2 = λ ø 1 –ø 2 =2 λ ø 1 –ø 2 = ø 1 –ø 2 = λ 2 ø 1 –ø 2 = 3 λ 2 5 λ 2 A 848 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv