Reichel Mathematik 7, Schulbuch

21 1.4 Polardarstellung der komplexen Zahlen 1 Polardarstellung der komplexen Zahlen 1. Komplexe Zahlen mit Polarkoordinaten darstellen Bisher haben wir komplexe Zahlen durch Binome der Form a + bi dargestellt; man spricht daher von der kartesischen Binomialdar- stellung a + bi komplexer Zahlen. Da jeder komplexen Zahl z genau ein Punkt P in der GAUSS’schen Zahlenebene entspricht , kann man z durch das Zahlenpaar (a 1 b) der kartesischen Koordinaten von P darstellen: z = a + bi š P (a 1 b) = P (Re (z) 1 Im(z)) Ebenso gut ist es möglich (und wie wir im Weiteren sehen werden, sehr sinnvoll), z durch den Pfeil __ À OP festzulegen: z = __ À OP = (Re (z) 1 Im(z)) Die komplexe Zahl z ist damit als zweidimensionaler (Zeilen-)Vektor dargestellt. Nun lässt sich der Pfeil natürlich auch durch das Zahlenpaar (r 1φ ) der Polarkoordinaten von P (vgl. Buch 5. Kl. S. 205) darstellen, wobei man sich aus Gründen der Eindeutigkeit der Darstellung auf Winkel im Standardintervall 0 ª φ < 2 π ( š 0° ª φ < 360° ) beschränkt. Begründe! Definition r·(cos φ + i·sin φ ) heißt Poøardarsteøøung der kompøexen Zahø z. Die Länge r des Pfeiøes __ À OP heißt Betrag der kompøexen Zahø z. Wir schreiben † z † = r. Der Winkeø φ (0 ª φ < 2 π ) heißt Argument der kompøexen Zahø z. Wir schreiben arg z = φ . Satz Umrechnungsformeøn zwischen kartesischer Binomiaøform und Poøardarsteøøung: a = r·cos φ r = 9 _____ a 2 + b 2 b = r·sin φ tan φ = b _ a (0 ª φ < 2 π ) Vorsicht: Bei der Ermittlung von φ musst du auf den Quadranten achten. Überlege stets anhand einer Skizze! Was passiert für a = 0? Beispiel G Schreibe 1 z = 1 + i, 2 z = ‒1 – i, 3 z = ‒3 + 4 i, 4 z = ‒i in Poøardarsteøøung! Lösung: 1 r = 9 _____ 1 2 + 1 2 = 9 __ 2; tan φ = 1 _ 1 = 1 Aus tan φ = 1 foøgt φ = 45° oder φ = 225°. Da 1 + i im ersten Quadranten der GAUSS’schen Zahøenebene øiegt, ist φ = 45°. Somit: z = 1 + i = ( 9 __ 2 1 45°) = 9 __ 2·(cos 45° + i·sin45°) 2 r = 9 _____ 1 2 + 1 2 = 9 __ 2; tan φ = ‒1 __ ‒1 = 1 Da z = ‒1 – i im dritten Quadranten øiegt, ist φ = 225° und nicht 45°, wie ein gewöhnøicher Taschenrechner anzeigt. Begründe! Somit: z = ‒1 – i = ( 9 __ 2 1 225°) = 9 __ 2·(cos 225° + i·sin225°) 3 r = 9 _______ (‒3) 2 + 4 2 = 5; tan φ = 4 __ ‒3 = ‒1, _ 3 Da z = ‒3 + 4 i im zweiten Quadranten øiegt, giøt: φ = 180° – 53,13° = 126,87° Somit: z = (5 1 126,87°) = 5·(cos126,87° + i·sin126,87°) 4 r = 1, tan φ = • Da z auf der negativen imaginären Achse øiegt, ist φ = 270°. Somit: z = (1 1 270°) = cos 270° + i sin270° 1.4 Fig. 1.5 Im(z) z = a +bi = (r 1Ć ) Re(z) 0 1 i a r b Ć F 1.5 0 1 i Im(z) 1.Q Re(z) 2.Q 3.Q 4.Q 1 + i ļ3+4i ļ1–i ļi 155152-021 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv