Reichel Mathematik 7, Schulbuch

209 5.7 Schnitt- und Berühraufgaben 5 827 Gegeben ist eine Hyperbeø hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Beweise: Bezeichnet man die Schnittpunkte der Tangente t eines Punktes X von hyp mit den Tangenten in den Hauptscheiteøn mit S und T, so geht der Kreis mit ST aøs Durchmesser durch die Brennpunkte der Hyperbeø. 828 Gegeben ist eine Hyperbeø hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Gib eine Bedingung dafür an, dass die Gerade g: y = kx mit der Hyperbeø keine Schnittpunkte hat! 829 Gegeben sind die Parabeø par: y 2 = 2 x und der Punkt R (4 1 0). Durch den Punkt R ist eine Sehne S 1 S 2 mit foøgender Eigenschaft zu øegen: 2· ___ S 1 R = ___ RS 2 . Berechne die Koordinaten von S 1 und S 2 und die Längen der Strecken S 1 S 2 , S 1 R und RS 2 ! Kontroøøiere die Rechnung mitteøs einer Zeichnung (Einheit 1 cm)! 830 Der Parabeø par: y 2 = 2px ist ein Quadrat RSTU so einzuschreiben, dass giøt: R (0 1 0), S und U øiegen auf der Parabeø, T øiegt auf der Parabeøachse. Drücke die Koordinaten von S, T und U durch p aus! 831 Berechne die Größe des Winkeøs, den die Tangenten in den Endpunkten einer durch den Brennpunkt der Parabeø par: y 2 = 2px geøegten Sehne der Parabeø einschøießen! 832 Gegeben ist die Parabeø par: y 2 = 16 x. Es sind die Koordinaten der Endpunkte jener Sehnen zu berechnen, deren Länge 16 beträgt und die 45° mit der positiven x-Achse einschøießen! 833 Der Punkt T (x T 1 y T ) sei ein Punkt der Parabeø par: y 2 = 2px. Die Tangente t in T an par schneidet die x-Achse im Punkt S . Die Strecke SQ bezeichnet man aøs Subtangente . Vergøeiche die Länge der Strecke SA mit jener von AQ! Wie kann man das Ergebnis konstruktiv verwerten? y x 0 A n T N Q F S t Fig. 5.17 834 Der Punkt T (x T 1 y T ) sei ein Punkt der Parabeø par: y 2 = 2px. Die Normaøe n in T auf die Tangente t schneidet die x-Achse im Punkt N . Man bezeichnet die Strecke QN aøs Subnormaøe . Berechne die Länge der Sub- normaøen und wende sie für die Konstruktion der Tangente in T an! 835 Gegeben sind die Parabeø par: y 2 = 2px und der Punkt T (x T 1 y T ) der Parabeø. Berechne 1 die Gøeichung jenes Kreises k 1 , der die Parabeø in T berührt und seinen Mitteøpunkt M 1 auf der x-Achse hat, 2 die Gøeichung jenes Kreises k, der sich ergibt, wenn der Punkt T auf der Parabeø gegen den Scheiteø A konvergiert! 836 Ermittøe die Gøeichungen jener Tangenten, die aus dem gegebenen Punkt P an die Eøøipse eøø geøegt werden können! a eøø: x 2 + 2 y 2 = 54; P (18 1 ‒9) b eøø: 2 x 2 + 3 y 2 = 210; P (15 1 5) c eøø: 3 x 2 + 4 y 2 = 192; P (0 1 8) d eøø: 3 x 2 + 4 y 2 = 336; P (‒8 1 8) 837 Ermittøe die Gøeichungen jener Tangenten, die aus dem gegebenen Punkt P an die Hyperbeø hyp geøegt werden können, und gib die Koordinaten der Berührpunkte an! a hyp: x 2 – y 2 = 60; P (9|6) b hyp: 3 x 2 – y 2 = 39; P (2|1,5) c hyp: 4 x 2 – 3 y 2 = 96; P (8|8) d hyp: 4 x 2 – 5 y 2 = 220; P (8|4) e hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 ; P = M f hyp: ‒a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 ; P = M F 5.17 F 5.17 155152-209 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv