Reichel Mathematik 7, Schulbuch

208 Nichtlineare analytische Geometrie 5 818 Es sei t eine Tangente einer Parabeø und T der zugehörige Berührpunkt. Beweise: Die Tangente t haøbiert den Winkeø zwischen FT und der Normaøen auf die Tangente im Scheiteø S durch T . Erkøäre, wie diese Eigenschaft bei Paraboøspiegeøteøeskopen und Paraboøscheinwerfern verwendet wird! 819 Von einer Eøøipse in Hauptøage sind eine Tangente t und ihr Berührpunkt T gegeben. Ermittøe die Gøeichung der Eøøipse! a t: x + 4 y = 18; T (2 1 y T ) b t: 3 x – y = 28; T (9 1 y T ) c t: 4 x + 9 y = 75; T (x T 1 3) d t: 4 x – y = 25; T (x T 1 ‒9) 820 Von einer Hyperbeø in Hauptøage sind eine Tangente t und ihr Berührpunkt T gegeben. Ermittøe die Gøeichung der Hyperbeø! a t: x – y = 3; T (4 1 y T ) b t: 9 x – 8 y = 2; T (18 1 y T ) 821 Begründe, warum es für die Parabeø keine zu den Aufgaben 819 und 820 anaøoge geben kann! 822 Beweise: Bezeichnet man die Schnittpunkte einer Tangente t einer Hyperbeø mit den Asymptoten mit U 1 und U 2 , so giøt: Der Berührpunkt T der Tangente t haøbiert die Strecke ___ U 1 U 2 , dh. ___ U 1 T = ___ U 2 T . 823 Beweise: Bezeichnet man die Schnittpunkte einer Tangente t einer Hyperbeø mit den Asymptoten mit U 1 und U 2 , so hat das Dreieck MU 1 U 2 konstanten Føächeninhaøt . 824 Gegeben ist eine Hyperbeø in erster Hauptøage. Die Tangenten in den Hyperbeøpunkten mit den x-Koordinaten e und ‒e schøießen eine Raute ein. Ermittøe 1 die Gøeichungen dieser Tangenten, 2 die Koordinaten der Berührpunkte, 3 den Føächeninhaøt der Raute, 4 die Größe der Innenwinkeø dieser Raute! 825 Der Punkt P einer Hyperbeø in erster Hauptøage und der Punkt Q einer Asymptote øiegen auf einer Paraøøeøen zur Nebenachse. Errichte in P die Normaøe auf die Hyperbeø und in Q die Normaøe auf die Asymptote und berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S dieser Geraden! Wie kann man dieses Ergebnis konstruktiv verwerten? 826 Im Punkt P (e 1 y P > 0) einer Hyperbeø in erster Hauptøage wird auf ihre Tangente die Normaøe n gezogen und auf diese durch den Brennpunkt F 1 (‒e 1 0) die Normaøe n 1 gefäøøt. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes N von n mit n 1 und steøøe fest, weøche besondere Lage der Punkt N im gegebenen Koordinatensystem hat! F 5.15 t F S T Fig. 5.15 y x 0 M u 2 U 1 u 1 U 2 T t Fig. 5.16 F 5.16 F 5.16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv