Reichel Mathematik 7, Schulbuch

2 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen „ „„ 0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 „ „„ 1. Einführung (Definition) komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 „ „„ 2. Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 „ „„ 3 Algebraische Gleichungen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 „ „ „ 4. Polardarstellung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 „ „ „ 5. Potenzieren und Wurzelziehen in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 „ „ „ 6 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 „ „ „ 7. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Exkurs: Leben wir in einer Vollwelt oder in einer Hohlwelt?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Differentialrechnung „ „„ 0. Wiederholung und Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 „ „„ 1. Das Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 „ „„ 2. Das Problem der Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 „ „„ 3. Die Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 „ „ „ 4. Regeln für das Differenzieren zusammengesetzter und verketteter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 „ „ „ 5. Ableitung weiterer wichtiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 „ „ „ 6. Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 „ „ „ 7. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Exkurs: Von Fadengrafiken zu BÉZIER-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle „ „„ 0. Vorschau und Vorübungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 „ „„ 1. Zusammenhang zwischen Funktionseigenschaften und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . 95 „ „„ 2. Diskussion von Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 „ „ „ 3. Diskussion von rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 „ „ „ 4. Diskussion von Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 „ „ „ 5. Diskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 „ „ „ 6. Diskussion weiterer Funktionen – Theoretische Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 „ „ „ 7. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Exkurs: Wie Kurven wirklich erzeugt werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4 Einige Anwendungen der Differentialrechnung „ „„ 0. Vorschau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 „ „ „ 1. Lösen von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung – Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 „„ „ 2. Ermitteln von Nullstellen mit Hilfe der Differentialrechnung – Das NEWTON’sche Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 „„ „ 3. Approximation von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung – TAYLOR-Polynome und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 „„ „ 4. Berechnen von Grenzwerten mit Hilfe der Differentialrechnung – Die Regel von l’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 „ „ „ 5. Rückblick und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Exkurs: Bringen wir ihn um die Ecke?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv