Reichel Mathematik 7, Schulbuch

196 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Führt man die weitere Rechnung analog jener auf S. 191 durch , so erhält man (e 2 – a 2 ) x 2 – a 2 y 2 = a 2 (e 2 – a 2 ) . Da e > a ist, gilt e 2 – a 2 > 0 . Wir setzen e 2 – a 2 = b 2 und erhalten b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Somit gilt: Satz Gøeichung einer Hyperbeø in erster Hauptøage (1. Hø): x 2 __ a 2 – y 2 __ b 2 = 1 bzw. b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 Um die Bedeutung von b zu ergründen, tragen wir wie bei der Ellipse die Punkte C (0 1 b) und D (0 1 b) ein; sie heißen Nebenscheitel . Diese sind allerdings keine Punkte der Hyperbel . Ferner zeichnen wir noch das so genannte Achsenrechteck ein; seine Seitenmitten sind die Hauptscheitel A und B und die Nebenscheitel C und D . Verlängert man die Dia- gonalen dieses Rechtecks, so scheinen sich die Äste der Hyperbel diesen immer mehr zu nähern. Wir vermuten daher: Die Diagonalen des Achsenrecht- ecks liefern die Asymptoten u 1 und u 2 der Hyper- bel: u 1 : y = b _ a ·x und u 2 : y = ‒ b _ a ·x Beweis: Wir beschränken uns auf den im ersten Quadranten liegenden Teil der Hyperbel. Aus b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 folgt für die Hyperbelpunkte des ersten Quadranten y = b/a· 9 ____ x 2 – a 2 . Für jeden Hyperbelpunkt X n (x n 1 y n ) gilt somit y n = b/a· 9 _____ x 2 – a 2 und für den auf der Asymptote u 1 : y = b/a·x liegenden Punkt P n mit der x-Koordinate x n gilt y n = b/a·x n . Die Differenz der y-Werte d n beträgt daher d n = b/a· “ x n – 9 ____ x n 2 – a 2 § . Für x n ¥ • geht d n ¥ 0 , da øim x n ¥ • d n = b _ a · øim x n ¥ • “ x n – 9 ____ x n 2 – a 2 § = b _ a · øim x n ¥ • x n 2 – (x n 2 – a 2 ) ________ x n + 9 ____ x n 2 – a 2 = ab· øim x n ¥ • 1 _______ x n + 9 ____ x n 2 – a 2 = 0 Somit nähert sich der im ersten Quadranten liegende Teil der Hyperbel mit wachsendem x n immer mehr der Asymptote u 1 . Dies gilt analog auch für die in den anderen Quadranten liegenden Teile der Hyperbel. Legt man die Hyperbel so in das Koordinatenkreuz, dass die Brennpunkte auf der y-Achse liegen (der Mittelpunkt sei wieder der Ursprung), dann nennt man diese Lage die zweite Hauptlage . Die Brenn- punkte und die Scheitel haben dann folgende Koordinaten: F 1 (0 1 ‒e) , F 2 (0 1 e) , A (0 1 ‒a) , B (0 1 a) , C (‒b 1 0) und D (b 1 0) . Die Asymptoten haben die Gleichungen u 1 : y = a _ b ·x und u 2 : y = ‒ a _ b ·x . Aufgrund analoger Rechnungen ergibt sich der Satz Gøeichung einer Hyperbeø in zweiter Hauptøage (2. Hø): ‒ x 2 __ a 2 + y 2 __ a 2 = 1 bzw. ‒a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 A 767 F 5.10 x y 0 a Fig. 5.10 y x 0 M a e b A B C D F 1 F 2 X n P n u 1 u 2 F 5.10 A 772 A 769 x y 0 a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv