Reichel Mathematik 7, Schulbuch

195 5.5 Hyperbel 5 Hyperbel 1. Hyperbel definieren (Brennpunktseigenschaft) Mit Hilfe der Brennpunktseigenschaft haben wir eine Ellipse definiert. Nun ersetzen wir das Wort „Sum- me“ durch „Differenz“, wobei wir den Betrag nehmen müssen, damit diese stets positiv ist. Die dabei entstehende Kurve nennt man Hyperbel: Definition Eine Hyperbeø ist die Menge aøøer in einer Ebene ε øiegenden Punkte X, für die der Betrag der Differenz der Abstände von zwei festen Punkten dieser Ebene, den so genannten Brennpunkten F 1 und F 2 , konstant ist: hyp = {X * 准 __ XF 1 – ___ XF 2 ‡ = 2a} Beispiel K Zeichne eine Hyperbeø mit ___ F 1 F 2 = 10 cm und 2a = 8 cm! Lösung: Wir nehmen eine Hiøfsgerade h an und tragen auf ihr die Strecke __ AB = 2a auf. Nun wähøen wir einen Hiøfspunkt H auf h außerhaøb der Strecke __ AB, nehmen ___ HA in den Zirkeø und zeichnen einen køeinen Kreis- bogen mit F 1 aøs Mitteøpunkt; im Schnitt mit dem Kreis(bogen) um F 2 mit dem Radius ___ HB erhaøten wir zwei Hyperbeøpunkte X 1 und X 2 , und in anaøoger Weise die zur y-Achse symmetrisch øiegenden Punkte X 3 und X 4 . Du kannst erkennen: Die Hyperbeø besteht aus den zwei Ästen hyp 1 und hyp 2 . Beide zu- sammen ergeben die Hyperbeø. Es giøt für den øinken Ast hyp 1 : ___ XF 1 – ___ XF 2 = ‒2a, und anaøog für den rechten Ast hyp 2 : ___ XF 1 – ___ XF 2 = 2a insgesamt aøso ‡ __ XF 1 – ___ XF 2 ‡ = 2a. Bemerkung: Für das von den so genannten Brennstrecken F 1 X und F 2 X gebildete Dreieck F 1 XF 2 gilt die Dreiecksungleichung (vgl. Buch 5. Kl. S. 210): ___ F 1 F 2 > ‡ __ F 1 X – ___ XF 2 ‡ º 2a , daher muss ____ F 1 F 2 º 2a sein, also ‡ __ F 1 M ‡ = ‡ __ F 2 M ‡ = e > a . Die Größe e heißt lineare Exzentrizität , das Verhältnis e _ a numerische Exzentrizität . 2. Gleichung der Hyperbel angeben und anwenden Analog zur Ellipse legen wir – vgl. die Figur in Beispiel K – die Hyperbel so in das Koordinatensystem, dass die Brennpunkte F 1 und F 2 auf der x-Achse symmetrisch zum Ursprung liegen. Ihre Koordinaten sind dann F 1 (‒e 1 0) und F 2 (e 1 0) . Dann liegen auch die Punkte A und B , die so genannten Hauptscheitel, auf der x-Achse symmetrisch zum Ursprung und die beiden Symmetrieachsen der Hyperbel fallen mit der x- und der y-Achse zusammen. Diese Lage der Hyperbel nennen wir (analog wie bei der Ellipse) erste Hauptlage. Um die Gleichung der Hyperbel herzuleiten, gehen wir von der Brennpunktseigenschaft aus. Für jeden Punkt X (x 1 y) einer Hyperbel in erster Hauptlage gilt: 2a = ‡ __ XF 1 – ___ XF 2 ‡ = ‡ 9 ______ (x + e) 2 + y 2 – 9 ______ (x – e) 2 + y 2 ‡ 5.5 y x B H h F 1 A 0 M d d–2a F 2 B 2a A d–2a d X 3 X 4 X 1 X 2 155152-195 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv