Reichel Mathematik 7, Schulbuch

191 5.4 Ellipse 5 Den Beweis führen wir in zwei Schritten. Zuerst zeigen wir, dass aus der Definition die Gleichung folgt, und anschließend die Umkehrung: 1) Brennpunktsdefinition w Ellipsengleichung ___ XF 1 + ___ XF 2 = 2a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 + 9 ______ (x – e) 2 + y 2 = 2a 9 ______ (x – e) 2 + y 2 = 2a – 9 ______ (x + e) 2 + y 2 ! 2 x 2 – 2ex + e 2 + y 2 = 4a 2 – 4a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 + x 2 + 2ex + e 2 + y 2 4a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 = 4a 2 + 4ex ! 4 a 9 ______ (x + e) 2 + y 2 = a 2 + ex ! 2 a 2 (x 2 + 2ex + e 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 ex + e 2 x 2 (a 2 – e 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 4 – a 2 e 2 (a 2 – e 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 – e 2 ) Nun ist a 2 – e 2 = b 2 , und daher erhalten wir – wie behauptet – insgesamt b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . 2)Ellipsengleichung w Brennpunktsdefinition ___ XF 1 = 9 ______ (x + e) 2 + y 2 = 9 ______________ (x 2 + 2ex + e 2 ) + “ b 2 – b 2 __ a 2 ·x 2 § = = 9 _____________ x 2 “ 1 – b 2 __ a 2 § + 2ex + (e 2 + b 2 ) = 9 ________ x 2 e 2 __ a 2 + 2ex + a 2 = † e _ a ·x + a † Aus x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 = 1 folgt x 2 __ a 2 ª 1 , dh. ‡ x ‡ ª a , und wegen e < a folgt e _ a · ‡ x ‡ ª e < a . Daher ist stets e _ a ·x + a > 0 , und es ist ___ XF 1 = a + e _ a ·x . Analog ist ___ XF 2 = a – e _ a ·x . Insgesamt gilt also – wie behauptet: ___ XF 1 + ___ XF 2 = “ a + e _ a ·x § + “ a – e _ a ·x § = 2a 735 Von einer Eøøipse in erster Hauptøage sind zwei der drei Größen a, b und e gegeben. 1 Ermittøe die Gøeichung der Eøøipse! 2 Berechne die Koordinaten der Scheiteø und der Brennpunkte! 3 Konstruiere die Eøøipse! a a = 34, b = 16 b a = 65, b = 16 c a = 29, b = 20 d a = 37, b = 35 e a = 53, e = 28 f a = 34, e = 30 g b = 24, e = 10 h b = 48, e = 14 736 Wie Aufg. 735 für eine Eøøipse in zweiter Hauptøage. a a = 40, b = 20 b a = 46, b = 25 c a = 50, e = 40 d b = 32, e = 55 737 Zeige, dass es sich um eine Parameterdarsteøøung einer Eøøipse in Hauptøage handeøt! Weøcher Punkt ist bei c und d ausgeschøossen? Weøchen Laufbereich hat dabei der Parameter? a x = a sin t b x = a cos (t + π ) y = b cos t y = b sin (t + π ) c x = a 2u ____ 1 + u 2 d x = a 1 – u 2 ____ 1 + u 2 y = b 1 – u 2 ____ 1 + u 2 y = b 2u ____ 1 + u 2 738 Gegeben ist die Gøeichung Ax 2 + By 2 = C mit A, B, C * R . Gib die Bedingungen für A, B und C an, sodass sich eine Gøeichung für eine Eøøipse a in erster, b in zweiter Hauptøage ergibt! Wann entsteht ein Kreis? 739 a Leite die Gøeichung einer Eøøipse in zweiter Hauptøage her! b Zeige, dass für aøøe Punkte, die die Gøeichung erfüøøen, die Brennpunktseigenschaft giøt! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv