Reichel Mathematik 7, Schulbuch

190 Nichtlineare analytische Geometrie 5 2. Ellipse in 1. Hl mit Hilfe einer Parameterdarstellung beschreiben Im vorigen Abschnitt haben wir einen Kreis zu einer Ellipse gestaucht. Ist der Kreis mit dem Radius a in Parameterdarstellung gegeben (x = a cos t, y = a sin t) und ersetzen wir in der zweiten Gleichung den Radius a durch die kleine Halbachse b , erhalten wir die Parameterdarstellung der Ellipse in 1. Hl: x = a cos t y = b sin t t * [0; 2π[ Die Richtigkeit unseres Vorgehens erkennen wir durch Einsetzen in die Gleichung einer Ellipse in 1. Hl: x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 3. Ellipse durch die Brennpunktseigenschaft definieren Da Ellipsen in geometrischen Zeichnungen häufig auftreten (der Schrägriss eines Kreises ist im Allge- meinen eine Ellipse), gibt es neben der obigen Konstruktion viele weitere. Die folgende hast du wahr- scheinlich schon in der Unterstufe als Definition der Ellipse kennen gelernt. Definition Eine Eøøipse ist die Menge aøøer in einer Ebene ε øiegenden Punkte X, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten dieser Ebene, den Brennpunkten F 1 und F 2 , eine Konstante c ist: eøø = {X * ε‡ ___ XF 1 + ___ XF 2 = c} Konstruiere in Fig. 5.7 mit Hiøfe der Brennpunktsdefinition einen weiteren Punkt X der Eøøipse! Wir stellen dazu folgende Überlegungen an: Da die Ellipse eine axial-symmetrische Figur ist, müssen F 1 und F 2 auf ei- ner der Achsen liegen. Die Nebenachse kommt dafür nicht in Betracht, da sonst zB ___ CF 1 + ___ CF 2 < ___ AF 1 + ___ AF 2 ist. Daher müssen F 1 und F 2 symmetrisch um M auf der Hauptachse liegen. Die Strecken XF 1 und XF 2 heißen Brennstrecken oder Leitstrecken . Der Abstand ___ MF 1 = ___ MF 2 = e heißt linea- re Exzentrizität 1 . Dann gilt: c = ___ AF 1 + ___ AF 2 = (a – e) + (a + e) = 2a Daraus ergibt sich die folgende „punktweise“ Konstruktion einer Ellipse: Wir wählen einen Hilfspunkt H auf AB , zeichnen um F 1 einen Kreis(bogen) mit Radius ___ HA und um F 2 einen Kreis(bogen) mit dem Radius ___ HB . Die beiden Schnittpunkte dieser Kreise sind (symmetrisch zur Hauptachse liegende) Punkte X 1 und X 2 der Ellipse . Für X 1 = C und X 2 = D ergibt sich insbesondere: e 2 = a 2 – b 2 Begründe anhand des grünen Dreiecks in Fig. 5.7! Obwohl wir mit der Konstruktion unter Verwendung der Definition augenscheinlich dieselbe Kurve wie mit Hilfe der Gleichung erhalten haben, müssen wir diesen Sachverhalt doch auch beweisen. Wir wol- len zeigen, dass die Beschreibungen einer Ellipse in erster Hauptlage mittels der obigen Definition und mittels der Gleichung von S. 189 äquivalent sind: 1 Für die Form der Ellipse ist nicht der absolute Wert der linearen Exzentrizität wesentlich, sondern sein relativer Wert zu den Achsen- längen. Daher gibt man vielfach den Wert e _ a an und bezeichnet ihn als numerische Exzentrizität . Fig. 5.7 y x 1 0 1 B A e b a C D M X 1 F 2 H X 2 F 1 F 5.7 155152-190 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv