Reichel Mathematik 7, Schulbuch

19 1.3 Algebraische Gleichungen höheren Grades 1 72 Löse durch geeignete Substitution für G = C ! a x 4 – 13 x 2 + 36 = 0 b x 4 + 2 x 2 – 15 = 0 c x 6 + 19 x 3 – 216 = 0 d x 6 – 7x 3 – 8 = 0 e x 8 – 17x 4 + 16 = 0 f x 8 – 97x 4 + 1296 = 0 73 Wie Aufg. 72. a x 2 + x – 5 ______ x 2 + x – 4 + x 2 + x + 5 ______ x 2 + x – 2 = 10 b x 2 + x + 1 _____ x 2 + x – 1 – 2·(x 2 + x) – 46 ________ 2·(x 2 + x) – 97 = 1 c (x 2 – 1) 2 – 5·(x 2 – 1) + 6 = 0 d (x 2 + 2) 2 – 9·(x 2 + 2) + 18 = 0 Symmetrische Gleichungen 74 Sieh dir die Gøeichungen in Aufg. 75 a bis h an! Weøche Eigenschaften haben die Koeffizienten? Erkøäre, warum man diese Gøeichungen symmetrische Gøeichungen nennt! Beweise den foøgenden Satz! Satz 1) Symmetrische Gøeichungen ungeraden Grades haben stets ‒1 oder +1 aøs Lösung. 2) Bei jeder symmetrischen Gøeichung giøt: Ist a eine Lösung, so auch 1/a. 75 Löse die foøgenden Gøeichungen für G = C ! a x 3 – 13 __ 3 x 2 + 13 __ 3 x – 1 = 0 b x 3 – 7 _ 2 x 2 + 7 _ 2 x – 1 = 0 c 3 x 3 + 7x 2 – 7x – 3 = 0 d 5 x 3 + 31 x 2 + 31 x + 5 = 0 e 4 x 3 – 21 x 2 + 21 x – 4 = 0 f 4 x 3 + 13 x 2 – 13 x – 4 = 0 g 5 x 3 – 31 x 2 + 31 x – 5 = 0 h 15 x 3 – 49 x 2 + 49 x – 15 = 0 76 Wie Aufg. 75. a x 5 – x 4 – x + 1 = 0 b x 5 + x 4 – x – 1 = 0 77 Löse für G = C mitteøs der Substitution x + 1/x = u! a 6 x 4 + 35 x 3 + 62 x 2 + 35 x + 6 = 0 b 12 x 4 – 56 x 3 + 89 x 2 – 56 x + 12 = 0 c 8 x 4 – 54 x 3 + 101 x 2 – 54 x + 8 = 0 d 2 x 4 + 5 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0 e 3 x 4 + 4 x 3 – 14 x 2 + 4 x + 3 = 0 f 2 x 4 – 9 x 3 + 14 x 2 – 9 x + 2 = 0 Vermischte Aufgaben 78 Steøøe eine Gøeichung dritten bzw. vierten Grades auf, die foøgende Lösungen hat! Beachte die Vieøfachheit der Lösungen! a 1; 2; 3 b 1; ‒2; ‒4 c 0; ‒2; 3 d 0; 2; 3 e 0; 0; 1; ‒2 f 2; 2; ‒2; ‒2 g 3; 3; 1; ‒1 h 1; 1; 1; 3 79 Gibt es aøgebraische Gøeichungen mit reeøøen Koeffizienten, weøche genau die angegebenen Lösungen mit der angegebenen Vieøfachheit besitzen? Wenn nein, begründe! Wenn ja, gib eine Gøeichung an! a 1; 2; i; i b 1; 2; i; ‒i c 2 – i; 3 – i; 2 + i d ±i; ±2 i e 1; 2; 3; 4; 2 i f ‒2; 1; ±i; 0 g 0; 0; 0; 1; ‒1 h 1; 1; 1; i; ‒i 80 Steøøe aøøe normierten Gøeichungen dritten Grades auf, weøche nur die beiden Lösungen 2 und 3 haben! 81 Steøøe aøøe normierten Gøeichungen dritten Grades auf, weøche die Lösung a 5, b ‒3, c i, d ‒i haben! 82 Von weøchem Grad ist die angegebene aøgebraische Gøeichung? Gib die Lösungsmenge an, ohne schriftøich zu rechnen, und begründe deine Antwort! a x 3 ·(x 2 – 36) 2 ·(x 2 – 100) = 0 b (x 2 – 1)·(x 2 + 1) 3 = 0 c x 18 ·(x 2 + 1) 2 ·(x 2 – 1) 2 = 0 d (x 4 – 1)·x 2 ·(4 x 2 – 25) 4 = 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv