Reichel Mathematik 7, Schulbuch

189 5.4 Ellipse 5 Ellipse 1. Definition und Gleichung der Ellipse verstehen und anwenden Fig. 5.6 zeigt eine Ellipse (betrachtet in der so genannten ersten Hauptlage ). Sie entsteht durch Stauchung eines Kreises: Die y- Koordinaten der Kreispunkte wurden (mit dem Strahlensatz) je- weils mit dem gleichen Faktor verkürzt. Um obigen Sachverhalt zu mathematisieren, gehen wir von einem Kreis mit dem Radius a aus: Soll der Punkt _ C (0 1 a) in den Punkt C (0 1 b) , b < a , übergehen, so müssen wir als Verkürzungsfaktor v = b/a wählen. Für einen Ellipsenpunkt P (x 1 y) und den zugehöri- gen Kreispunkt _ P ( _ x 1 _ y) gilt also: _ x = x und _ y = a/b·y Setzen wir dies in die Kreisgleichung _ x 2 + _ y 2 = a 2 ein, so erhalten wir als Gleichung der Ellipse x 2 + a 2 __ b 2 ·y 2 = a 2 Umformen ergibt die (beiden üblichen Formen der) Ellipsengleichung: Satz Gøeichung einer Eøøipse in erster Hauptøage (1. Hø): x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 = 1 bzw. b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 a heißt große , b køeine Haøbachse. Beispiel J Zeichne die Eøøipse in (erster) Hauptøage mit a = 5 cm und b = 3 cm! Lösung: x 2 __ a 2 + y 2 __ b 2 = 1 w x 2 __ 25 + y 2 __ 9 = 1 w y = ± 3 _ 5 · 9 ____ 25 – x 2 Nun steøøen wir eine Wertetabeøøe auf, wobei wir uns aus Symmetriegründen auf den 1. Quadranten beschränken können: Bemerkung: Man nennt M(0|0) .................................................. Mitteøpunkt A (‒a 1 0), B (a 1 0) .................................. Hauptscheiteø C (0 1 b), D (0 1 ‒b) .................................. Nebenscheiteø AB .......................................................... Hauptachse CD ........................................................... Nebenachse Legt man die Ellipse so in das Koordinatenkreuz, dass die Hauptachse auf der y-Achse und die Neben- achse auf der x-Achse liegt, so spricht man von der zweiten Hauptlage . Aufgrund analoger Rechnungen ergibt sich der Satz Gøeichung einer Eøøipse in zweiter Hauptøage (2. Hø): x 2 __ b 2 + y 2 __ a 2 = 1 bzw. a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 5.4 Fig. 5.6 y x C 0 X a = r b C X y 0 b a x y x 1 0 1 B A C D M A 745 x 0 1,00 2,00 3,00 3,50 4,00 4,50 5 y 3 2,94 2,75 2,40 2,14 1,80 1,31 0 A 739 y 0 b a x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv