Reichel Mathematik 7, Schulbuch

182 Nichtlineare analytische Geometrie 5 2. Berührbedingung herleiten und anwenden Sind eine Gerade g: y = kx + d und ein Kreis k [M; r] gegeben, so suchen wir im Folgenden eine Bedin- gung, mit der wir leicht feststellen können, ob die Gerade den Kreis berührt, also eine Tangente ist. Wir gehen dabei wie in Beispiel D vor: r = d (M, g) = † ___ À AM· __ À n 0 † = † “ “ x M y M § – “ 0 d § § · 1 ____ 9 ___ k 2 + 1 · “ k ‒1 § † = † k·x M – y M + d ________ 9 ___ k 2 + 1 † w r· 9 ___ k 2 + 1 = † k·x M – y M + d † Satz Berührbedingung: (k·x M – y M + d) 2 = r 2 ·(k 2 + 1) Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung, so vereinfacht sich die Berührbedingung zu d 2 = r 2 ·(k 2 + 1) . Leite diese Bedingung anaøog zu oben her ! Bemerkung: Die Berührbedingung lässt sich auch durch folgende Überlegung herleiten: Das Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis führt auf eine quadratische Glei- chung. Die Gerade berührt den Kreis genau dann, wenn die quadratische Gleichung eine (reelle) Dop- pellösung hat, die Diskriminante also null ist . Beispiel G Gegeben sind der Kreis k: (x + 12) 2 + (y – 8) 2 = 36 und die Gerade g: 5 x – 12 y = 71. Ermittøe die Gøeichungen der zu g paraøøeøen Tangenten an den Kreis! Lösung: k = 5 __ 12 , x M = ‒12, y M = 8, r = 6 setzen wir ein in (k·x M – y M + d) 2 = r 2 ·(k 2 + 1) und erhaøten: “ 5 __ 12 ·(‒12) – 8 + d § 2 = 36· “ “ 5 __ 12 § 2 + 1 § (‒13 + d) 2 = 36 · 169 ___ 144 = 169 ___ 4 = “ 13 __ 2 § 2 w d 1,2 = 13 ± 13 __ 2 t 1 : y = 5 __ 12 · x + 13 __ 2 und t 2 : y = 5 __ 12 · x + 39 __ 2 3. Schnittwinkel zwischen Kreis und Gerade ermitteln Unter dem Schnittwinkel φ einer Geraden g mit dem Kreis k im Schnittpunkt S versteht man jenen Winkel, den die Gerade und die Kreistangente bei S einschließen. Ist die Gerade eine Tangente, so ist der „Schnittwinkel“ 0° , ist die Gerade eine Sekante, so ist der Schnittwinkel in jedem der beiden Schnitt- punkte S 1 und S 2 gleich groß. Begründe! Prinzipiell lässt sich der Schnittwinkel φ auf zwei ver- schiedene Arten berechnen: 1. Man berechnet den Winkel, den die Gerade mit einer der beiden Tangenten einschließt. Die Steigung der Tan- gente kann dabei entweder aus ihrer Normalvektorform (bzw. Spaltform) oder durch (implizites) Differenzieren der Kreisgleichung oder der Parameterdarstellung ge- funden werden (vgl. Beispiel F)! 2. Der Schnittwinkel lässt sich aber auch ohne Ermittlung der Schnittpunkte S 1 (bzw. S 2 ) berechnen, und zwar aus dem rechtwinkeligen Dreieck MS 1 H : Ist d der Normal- abstand des Mittelpunktes von der Geraden g, so gilt: cos φ = d _ r A 714 A 715 714 Fig. 5.3 r M H Ć Ć Ć S 1 d t k S 2 n g n t g F 5.3 155152-182 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv