Reichel Mathematik 7, Schulbuch

181 5.3 Kreistangenten 5 Kreistangenten 1. Tangentengleichung wissen und anwenden Eine Gerade ist dann Tangente an einen Kreis k , wenn sie mit diesem nur einen Punkt, den Berührpunkt T , gemeinsam hat. Aus dieser Definition lässt sich die bereits aus der Unterstufe bekannte Eigenschaft herleiten , dass die Tangente auf den Berührradius normal steht, dass also gilt : __ À MT © __ À TX É __ À MT· __ À TX = 0 Daraus ergibt sich unter Anwendung der Regel „Spitze minus Schaft“ un- mittelbar der Satz Normaøvektorform der Tangentengøeichung: (T – M)·(X – T) = 0 Diese Gleichung lässt sich wie folgt umformen: Wegen † __ À MT † = r ist (T – M) 2 = r 2 . Addieren wir diese Glei- chung zur Normalvektorform und heben T – M heraus, so erhalten wir (T – M)·((X – T) + (T – M)) = r 2 und durch Vereinfachen der Satz Spaøtform der Tangentengøeichung: (T – M)·(X – M) = r 2 Bemerkung: Spaltet man die Kreisgleichung (X – M) 2 = r 2 in der Form (X – M)·(X – M) = r 2 auf und er- setzt ein X durch T , so erhält man die Tangentengleichung. Deswegen der Name Spaltform. Beispiel F Ermittøe auf vier Arten eine Gøeichung der Tangente, die den Kreis k [M(2 1 ‒4); 13] im Punkt T (7 1 y T > 0) berührt! Lösung: k: (x – 2) 2 + (y + 4) 2 = 169 T * k: (7 – 2) 2 + (y + 4) 2 = 169 w (y + 4) 2 = 144 w y 1,2 = ‒4 ± 12 w y T = 8 w T (7 1 8) 1 Normaøvektorform: (T – M)·(X – T) = 0 “ 7 – 2 8 + 4 § · “ x – 7 y – 8 § = 0 “ 5 12 § · “ x – 7 y – 8 § = 0 5 x + 12 y = 131 2 Spaøtform: “ x T – x M y T – y M § · “ x – x M y – y M § = r 2 (x T – x M )·(x – x M ) + (y T – y M )·(y – y M ) = r 2 (7 – 2)·(x – 2) + (8 + 4)·(y + 4) = 169 5 x + 12 y = 131 3 Hauptform: Wir ermitteøn die Steigung k der Tangente durch impøizites Differen- zieren der Kreisgøeichung: k: (x – 2) 2 + (y + 4) 2 = 169 † d __ dx 2 (x – 2) + 2 (y + 4)·y’ = 0 w y’ = ‒ x – 2 ___ y + 4 w y’(T) = ‒ 7 – 2 ___ 8 + 4 = ‒ 5 __ 12 T * t: 8 = ‒ 5 __ 12 ·7 + d w d = 131 ___ 12 w t: y = ‒ 5 __ 12 ·x + 131 ___ 12 5.3 A 706 K 5.2 Fig. 5.2 r X M T t 4 Wir ermitteøn die Steigung der Tangente durch Differenzieren der Parameterdarsteøøung (weiter ginge es dann wie in 3 ) k: x = 2 + 13 cos t w dx __ dt = ‒13 sin t y = ‒4 + 13 sin t w dy __ dt = 13 cos t T * k: 7 = 2 + 13 cos t T w cos t T = 5/13 w y’(T) = ‒ 5 __ 12 8 = ‒4 + 13 sin t T w sin t T = 12/13 w y’ = dy __ dt __ dx __ dt = dy __ dx = ‒ cos t ____ sint t y x 1 0 1 T t r k M Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv