Reichel Mathematik 7, Schulbuch

18 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 Finden und Abspalten von Lösungen 66 Formuøiere das „Rezept“ zur Lösung aøgebraischer Gøeichungen durch sukzessives Abspaøten von Lösungen aøs Aøgorithmus! || 67 Überprüfe durch Einsetzen, dass x 1 eine Lösung der Gøeichung ist, und ermittøe die anderen Lösungen für G = C ! a x 3 – 3 x 2 – 6 x + 8 = 0, x 1 = 1 b x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6 = 0, x 1 = ‒3 c 2 x 3 – 3 x 2 – 39 x + 20 = 0, x 1 = 5 d x 3 + 2 x 2 + 2 x + 40 = 0, x 1 = ‒4 e 2 x 3 – 3 x 2 + 4 x – 6 = 0, x 1 = 3/2 f 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x + 1 = 0, x 1 = ‒1/2 68 Spaøte die angegebenen Lösungen nacheinander ab und berechne die restøichen Lösungen für G = C ! a x 4 + 2 x 3 – 13 x 2 – 14 x + 24 = 0, x 1 = 1, x 2 = ‒2 b x 4 – 5 x 3 + 3 x 2 + 15 x – 18 = 0, x 1 = 2, x 2 = 3 c 6 x 4 + 7x 3 – 11 x 2 – 7x + 5 = 0, x 1 = 1/2, x 2 = ‒5/3 d 6 x 4 – 19 x 3 + 14 x 2 + x – 2 = 0, x 1 = ‒1/3, x 2 = 1 69 Finde eine Lösung, spaøte sie ab und ermittøe die Lösungsmenge der Gøeichung für G = C ! a x 3 + 5 x 2 – 4 x – 20 = 0 b 3 x 3 + 5 x 2 – 12 x – 20 = 0 c x 3 – 9 x 2 + 26 x – 24 = 0 d x 3 – 3 x 2 + 4 x – 12 = 0 e 2 x 3 – 8 x 2 + 11 x – 5 = 0 f x 3 – x 2 + 17x + 87 = 0 g x 3 – 2 x 2 + 10 x = 0 h x 3 – 2 x 2 + 5 x = 0 70 Kreuze (ohne die Zahøen in die Gøeichung einzusetzen) die Feøder unter aøø jenen Zahøen an, die sicher nicht aøs Lösung in Frage kommen! Überøege dir eine Begründung! ‒3 ‒2 ‒1 0 1 2 3 4 a x 4 – 10 x 3 + 35 x 2 – 50 x + 24 = 0 b x 4 + 5 x 3 + 5 x 2 – 5 x – 6 = 0 c x 4 – 4 x 3 – x 2 + 16 x – 12 = 0 d x 4 – 5 x 3 + 7x 2 – x – 2 = 0 Lösen von Gleichungen durch Substitution Bestimmte Gleichungen lassen sich durch Substitution (dh. durch Einführen neuer Unbekannter für ge- wisse Ausdrücke) vereinfachen, zB auf quadratische Gleichungen zurückführen. Beispiel F Löse x 4 – 13 x 2 + 36 = 0 für G = C ! Lösung: Wir setzen für x 2 die Hiøfsvariabøe u und erhaøten die quadratische Gøeichung: u 2 – 13u + 36 = 0 u 1,2 = 13/2 ± 9 ________ 169/4 – 36 L = {‒3; ‒2; 2; 3} 71 Löse mitteøs der angegebenen Substitution für G = C ! a x 2 – 8 x + 5 = 2·(x 2 – 8 x + 35) x 2 – 8 x = u b (x + 5) 2 – (x 2 + 10 x + 1) = 3 x 2 + 10 x = u c 3·(x – 5)·(x + 2) = (x 2 – 3 x)·(x 2 – 3 x + 1) – 38 x 2 – 3 x = u d (x 2 – 4 x) 2 – 3 x·(4 – x) = 4 x 2 – 4 x = u e (x – 5) 4 + (x 2 – 10 x + 25) = 2 x 2 – 10 x + 25 = u f (x + 2) 4 – (x 2 + 4 x + 4) – 12 = 0 x 2 + 4 x + 4 = u u 1 = 9 = x 2 w x 1 = 3, x 2 = ‒3 u 2 = 4 = x 2 w x 3 = 2, x 4 = ‒2 155152-018 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv