Reichel Mathematik 7, Schulbuch

178 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Beispiel D (Fortsetzung) Bestimme die Lage der Geraden bezügøich des Kreises k durch das Berechnen der Koordinaten (eventueøøer) gemeinsamer Punkte! Lösung: g 1 : Wir øösen durch Substitution das Gøeichungssystem x 2 + y 2 = 25 y = x – 1 x 2 + (x – 1) 2 = 25 w 2 x 2 – 2 x – 24 = 0 w x 2 – x – 12 = 0 x 1,2 = 1 ± 9 ____ 1 + 48 _______ 2 = 1 ± 7 ___ 2 w x 1 = ‒3, x 2 = 4 w g 1 schneidet k in den Punkten S 1 (‒3 1 ‒4) und S 2 (4 1 3). g 2 : Wir rechnen anaøog wie bei g 1 : x 2 + (3 x/4 + 6,25) 2 = 25 w … w x 2 + 6 x + 9 = 0 w (x + 3) 2 = 0 w x 1,2 = ‒3 (Doppeøøösung) w g 2 berührt k im Punkt T (‒3 1 4). g 3 : x 2 + (‒0,5·x + 8) 2 = 25 w … w 5 x 2 – 32 x + 156 = 0 w x 1,2 = 32 ± 9 ________ 1024 – 4·5·156 _____________ 10 w L = { } w g 3 ist Passante zu k. 3. Lage und Schnitt zweier Kreise beschreiben und bestimmen Die Lage zweier Kreise zueinander hängt vom Abstand z der Mittelpunkte M 1 und M 2 der beiden Kreise und deren Radien r 1 und r 2 ab : 1. Für † r 1 – r 2 † > z liegt der kleinere der beiden Kreise innerhalb des größeren: k 1 ° k 2 = { } 2. Für † r 1 – r 2 † = z berühren die beiden Kreise einander von innen in einem Punkt: k 1 ° k 2 = {T} 3. Für † r 1 – r 2 † < z < r 1 + r 2 schneiden die beiden Kreise einander in zwei Punkten: k 1 ° k 2 = {S 1 ; S 2 } 4. Für z = r 1 + r 2 berühren die beiden Kreise einander von außen in einem Punkt: k 1 ° k 2 = {T} 5. Für z > r 1 + r 2 haben die beiden Kreise keinen (reellen) Punkt gemeinsam: k 1 ° k 2 = { } Um die Koordinaten der Schnittpunkte zweier Kreise zu berechnen, gehen wir wie beim Aufsuchen der Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden vor: Die Gleichungen der beiden Kreise werden zu ei- nem Gleichungssystem zusammengefasst und dessen Lösungsmenge (im Allgemeinen mittels Substituti- onsverfahrens) ermittelt. Je nachdem, ob die dabei auftretende quadratische Gleichung keine, eine oder zwei reelle Lösungen hat, haben die beiden Kreise keinen (reellen) Punkt, einen Punkt (Berührpunkt) oder zwei Punkte (Schnittpunkte) gemeinsam: Beispiel E Berechne die Lage (und die Koordinaten eventueøøer gemeinsamer Punkte) der beiden Kreise k 1 [M 1 (4 1 ‒2); 9 __ 10] und k 2 [M 2 (‒1 1 3); 9 __ 20]! Lösung: k 1 : (x – 4) 2 + (y + 2) 2 = 10 k 2 : (x + 1) 2 + (y – 3) 2 = 20 x 2 – 8 x + 16 + y 2 + 4 y + 4 = 10 x 2 + 2 x + 1 + y 2 – 6 y + 9 = 20 x 2 – 8 x + y 2 + 4 y = ‒10 x 2 + 2 x + y 2 – 6 y = 10 Subtrahieren der beiden Gøeichungen ergibt ‒10 x + 10 y = ‒20 bzw. vereinfacht y = x – 2. Dies kann in einer der Gøeichungen – zB der für k 1 – zur Substitution von y verwendet werden: x 2 – 8 x + (x – 2) 2 + 4 (x – 2) = ‒10 x 2 – 8 x + x 2 – 4 x + 4 + 4 x – 8 = ‒10 2 x 2 – 8 x + 6 = 0 x 1 = 1, x 2 = 3 w (aus der Substitution) y 1 = x 1 – 2 = ‒1 und y 2 = x 2 – 2 = 1 Die beiden Kreise schneiden einander in den Schnittpunkten S 1 (1 1 ‒1) und S 2 (3 1 ‒1). A 698 y x 1 0 1 S 1 k 1 k 2 M 2 M 1 S 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv