Reichel Mathematik 7, Schulbuch

177 5.2 Kreisschnitte 5 Kreisschnitte 1. Lagemöglichkeiten einer Geraden bezüglich eines Kreises erkennen Um die Lage einer Geraden bezüglich eines Kreises rechnerisch zu bestimmen, können wir den Abstand d des Kreismittelpunktes von der Geraden berechnen und mit dem Radius vergleichen: 1. Ist d < r , so schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten, den Schnittpunkten S 1 und S 2 : g ° k = {S 1 ; S 2 } . Die Gerade ist eine Sekante 1 des Kreises. 2. Ist d = r , so berührt die Gerade den Kreis in einem Punkt, dem Berührpunkt T: g ° k = {T}. Die Gerade ist eine Tangente 2 des Kreises. 3. Ist d > r , so geht die Gerade am Kreis vorbei: g ° k = { } . Die Gerade ist eine Passante 3 des Kreises. Beispiel D Gegeben sind der Kreis k: x 2 + y 2 = 25 und drei Geraden: g 1 : y = x – 1 g 2 : y = 3/4·x + 6,25 g 3 : y = ‒0,5·x + 8 Ermittøe die Lagen der Geraden bezügøich des Kreises 1 durch Zeichnung, 2 durch Rechnung! Lösung: 1 Aus der Figur øässt sich abøesen: 1. Die Gerade g 1 schneidet den Kreis; sie ist eine Sekante. 2. Die Gerade g 2 berührt den Kreis; sie ist eine Tangente. 3. Die Gerade g 3 geht am Kreis vorbei; sie ist eine Passante. 2 Wir berechnen den Abstand d des Kreismitteø- punktes von den Geraden jeweiøs mit Hiøfe der HESSE’schen Abstandsformeø: d (M, g) = | ___ À AM· _ À n 0 1 g 1 : d (M,g 1 ) = † “ “ 0 0 § – “ 0 ‒1 § § · 1 __ 9 _ 2 · “ ‒1 1 § † = 1 __ 9 _ 2 w d < r w g 1 ° k = {S 1 ; S 2 } g 2 : d (M,g 2 ) = † “ “ 0 0 § – “ 0 6,25 § § · 1 _ 5 · “ 3 ‒4 § † = 5 w d = r w g 2 ° k = {T} g 3 : d (M,g 3 ) = † “ “ 0 0 § – “ 0 8 § § · 1 __ 9 _ 5 · “ 1 2 § † = 16 __ 9 _ 5 w d > r w g 3 ° k = { } 2. Schnitt eines Kreises mit einer Geraden bestimmen Um die Koordinaten der Schnittpunkte eines Kreises k mit einer Geraden g zu berechnen, werden die Gleichung des Kreises und die der Geraden zu einem Gleichungssystem zusammengefasst und dessen Lösungsmenge ermittelt. Die dabei auftretende quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei reel- le Lösungen haben 4 ; die Gerade ist demnach Passante, Tangente oder Sekante. 1 secare (lat.)…schneiden 2 tangere (lat.)…berühren 3 passare (lat.)…vorbeigehen 4 Dem Paar konjugiert-komplexer Lösungen der quadratischen Gleichungen entsprechen komplexe Schnittpunkte. 5.2 g 2 T d 2 r S 1 d 1 k d 3 g 3 g 1 S 2 y x 1 0 1 155152-177 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv