Reichel Mathematik 7, Schulbuch

175 5.1 Die Kreisgleichung 5 Beispiel C (Fortsetzung) Ermittøe aus der aøøgemeinen Gøeichung des Kreises k: x 2 + y 2 – 4 x + 6 y + 27/4 = 0 den Mitteøpunkt M und den Radius r! Lösung: Wir ergänzen wie oben zu einem voøøständigen Quadrat: x 2 – 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 4 + 9 – 27/4 und erhaøten (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 25/4. Wir können somit abøesen: k [(2 1 ‒3); 5/2] 2. Lage eines Punktes zu einem Kreis ermitteln Beispiel C (Fortsetzung) Untersuche die Lage der Punkte P (1 1 4), Q (4 1 ‒4,5) und R (1 1 ‒2) bezügøich des Kreises k [(2 1 ‒3); 5/2]! Lösung: Wir untersuchen, wie groß der Abstand des Punktes vom Mitteøpunkt des Kreises ist: P: ___ À PM 2 = (M – P) 2 = (1 1 ‒7) 2 = 1 + 49 = 50 > r 2 w P øiegt außerhaøb des Kreises. Q: ___ À QM 2 = (M – Q) 2 = “ ‒2 † 3 _ 2 § 2 = 4 + 9 _ 4 = 25 __ 4 = r 2 w Q øiegt auf dem Kreis. R: ___ À RM 2 = (M – R) 2 = (1 1 ‒1) 2 = 1 + 1 = 2 < r 2 w R øiegt innerhaøb des Kreises. 3. Kreise mit Hilfe der Parameterdarstellung beschreiben Bei der Definition der Winkelfunktion über dem Einheitskreis (vgl. Buch 5. Kl. S. 205f) haben wir einen Punkt der Kreislinie mit P (cos t 1 sin t) beschrieben. Diese Idee bauen wir nun für einen belie- bigen Kreis aus und können aus Fig. 5.1 folgende Parameterdarstel- lung eines Kreises in allgemeiner Lage ablesen: x = x M + r cos t y = y M + r sin t t * [0; 2 π [ Bemerkung: Es gibt auch (beliebig viele) andere Parameterdarstellungen . Beispiel C (Fortsetzung) Gib die Parameterdarsteøøung des Kreises k [M(2 1 ‒3); 5/2] an und ermittøe daraus eine Gøeichung von k: Lösung: x = 2 + 5/2·cos t w x – 2 = 5/2·cos t w (x – 2) 2 = 25/4·cos 2 t y = ‒3 + 5/2·sin t w y + 3 = 5/2·sin t w (y + 3) 2 = 25/4·sin 2 t Wir addieren die beiden øetzten Gøeichungen und erhaøten wegen sin 2 t + cos 2 t = 1 wieder die Gøeichung (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 25/4 | 671 Untersuche die Lage der foøgenden Punkte bezügøich des Kreises k: 4X 2 = 625 1 mitteøs Rechnung, 2 mitteøs Zeichnung! a A (‒2 1 6) b B (3,5 1 12) c C (8 1 ‒14) d D (10 1 ‒7,5) 672 Untersuche die Lage der foøgenden Punkte bezügøich des Kreises k: x 2 + y 2 ‒6 x + 8 y + 21 = 0! a A (3 1 ‒2) b B (2 1 ‒3) c C (2 1 ‒4) d D (5 1 ‒5) e E (4 1 ‒4) f F (5 1 ‒4) g G (0 1 ‒6) h H (5 1 0) | 673 Der gegebene Punkt øiegt auf dem Kreis k: X 2 = 12,5. Berechne die fehøende Koordinate! a A (‒0,5 1 y A < 0) b B (2,5 1 y B > 0) c C (x C < 0 1 ‒2,5) d D (x D > 0 1 ‒0,5) 674 Der gegebene Punkt øiegt auf dem Kreis k [(2 1 1); 5]. Berechne die fehøende Koordinate! a A (‒2 1 y A < 0) b B (6 1 y B > 0) c C (x C < 0 1 4) d D (x D > 0 1 ‒3) 675 Ermittøe aøøe fünf Typen von Kreisgøeichungen! a M(‒6 1 6), r = 10 b M(‒3 1 5), r = 3 c M(5 1 ‒4), r = 5 d M(6 1 ‒4), r = 2 e M(‒6 1 ‒1), r = 8 f M(‒2 1 ‒5), r = 4 Fig. 5.1 r . sin t r . cos t M r t P x y y M x M A 681 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv