Reichel Mathematik 7, Schulbuch

174 Nichtlineare analytische Geometrie 5 Die Kreisgleichung 1. Definition und Gleichung des Kreises verstehen und bestimmen können Definition Die Menge aøøer Punkte X (der Ebene), die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kreis øinie k mit Mitteøpunkt M und Radius r: k [M; r] = {X † ___ XM = r} Die abgeschøossene Kreis scheibe ist die Punktmenge {X † ___ XM ª r} („Inneres“ pøus „Rand“). Die offene Kreis scheibe ist die Punktmenge {X † ___ XM < r} („Inneres“ ohne „Rand“). Bemerkung: Überall dort, wo keine Gefahr einer Verwechslung auftreten kann, verwenden wir statt Kreislinie bzw. statt Kreisscheibe den Ausdruck Kreis. Beispiel C Gegeben ist ein Kreis k [M(2 1 ‒3); 5/2]. Steøøe eine Gøeichung auf, die für aøøe Punkte X (x 1 y) der Kreis- øinie k den Zusammenhang zwischen x und y beschreibt! Lösung: Laut Definition haben aøøe Punkte X von M den Abstand r. Wegen ___ À MX = X – M giøt: (X – M) 2 = r 2 Für M(2 1 ‒3) und r = 5/2 giøt spezieøø: $ “ x y § – “ 2 ‒3 § % 2 = “ 5 _ 2 § 2 Durch Quadrieren und Zusammenfassen erhaøten wir x 2 + y 2 – 4 x + 6 y + 27 __ 4 = 0 oder bruchfrei nach Muøtipøikation mit 4: 4 x 2 + 4 y 2 – 16 x + 24 y + 27 = 0 In Verallgemeinerung von Beispiel C können wir einen Kreis k [M(x M 1 y M ); r] wie folgt darstellen: Satz Kreisgøeichungen: X … øaufender Punkt, M … Mitteøpunkt, r … Radius, A, B, C, D * R , A ≠ 0 Vektorform Koordinatenform (Spezieøøe) Kreisgøeichung (X – M) 2 = r 2 (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2 Aøøgemeine Kreisgøeichung A·X 2 + 2· “ B C § ·X + D = 0 Ax 2 + Ay 2 + 2Bx + 2Cy + D = 0 Liegt der Mitteøpunkt im Ursprung, so øauten die entsprechenden Gøeichungen: (Spezieøøe) Kreisgøeichung X 2 = r 2 x 2 + y 2 = r 2 Aøøgemeine Kreisgøeichung A·X 2 + D = 0 Ax 2 + Ay 2 + D = 0 Bemerkungen: 1) Mit Hilfe der Kreisgleichung kann man feststellen, ob ein Punkt auf der Kreislinie liegt oder nicht. (Vgl. das allgemeine Inzidenzkriterium in Buch 5. Kl. S. 251!) 2) Die allgemeine Gleichung des Kreises entsteht aus der Kreisgleichung durch Ausquadrieren, Zusam- menfassen und Multiplizieren mit A ≠ 0 . Beachte, dass daher die quadratischen Glieder stets die gleichen Koeffizienten haben müssen. Die Koeffizienten bei den linearen Gliedern haben (vereinba- rungsgemäß) den Faktor 2 , damit man leichter in die Koordinatenform zurück transformieren kann. 3) Umgekehrt ergibt sich die Frage, ob jede Gleichung der Form Ax 2 + Ay 2 + 2Bx + 2Cy + D = 0 , A ≠ 0 einen Kreis festlegt. Um dies zu untersuchen, dividieren wir die Gleichung durch A : x 2 + y 2 + 2· B __ A ·x + 2· C _ A ·y + D __ A = 0 Wir fassen alle Glieder mit x bzw. y zusammen und ergänzen sie zu einem vollständigen Quadrat: x 2 + 2· B __ A ·x + “ B __ A § 2 + y 2 + 2· C _ A ·y + “ C _ A § 2 + D __ A = “ B __ A § 2 + “ C _ A § 2 w “ x + B __ A § 2 + “ y + C _ A § 2 = B 2 + C 2 – AD _______ A 2 a) Für B 2 + C 2 – AD > 0 erhält man einen Kreis mit M “ ‒ B __ A † ‒ C _ A § und r = 1 _ A · 9 _______ B 2 + C 2 – AD . b) Für B 2 + C 2 – AD = 0 ist der Kreis zu einem Punkt ausgeartet ( r = 0 ). c) Für B 2 + C 2 – AD < 0 erhält man keinen (reellen) Kreis ( r 2 < 0 w r + R ). 5.1 M r X Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv