Reichel Mathematik 7, Schulbuch

173 5.0 Wiederholung und Vorschau 5 In der allgemeinen Gleichung der Geraden treten höchstens lineare Glieder in x und y auf. Dies ist – wie wir wissen – auch kennzeichnend: Ist eine Gleichung mit zwei Variablen linear, dann ist sie die Gleichung einer Geraden. Mit anderen Worten: Das Arbeiten mit Geraden im R 2 und das Arbeiten mit li- nearen Gleichung(ssystem)en mit zwei Variablen entsprechen einander. Man fasst daher beide Arbeits- gebiete unter dem Namen lineare analytische Geometrie zusammen. Naheliegend ist die Frage nach einer nichtlinearen analytischen Geometrie: Welche „Kurven“ werden durch nichtlineare Gleichungen mit zwei Variablen dargestellt und wie kann man bei ihnen auftretende geometrische Probleme rechnerisch lösen? Im Kapitel Kurvendiskussionen haben wir bereits viele Beispiele dazu kennen gelernt. Im Folgenden wollen wir uns vorerst auf den nach den linearen Gleichungen einfachsten Fall beschränken, nämlich auf die systematische Untersuchung von Gleichungen 2. Grades mit zwei Variablen. Die durch solche Gleichungen beschriebenen Kurven heißen Kegelschnitte und sind dir nicht unbekannt: Zu ihnen zäh- len der Kreis, die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel. Im Weiteren werden wir dann andere Kurven sowohl in der Ebene als auch im Raum besprechen. | 667 Lies aus der Figur 1 eine Parameterdarsteøøung von g, 2 eine aøøgemeine Gøeichung von h ab und berechne die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkeø der beiden Geraden! a b y x 1 0 1 g h y x 1 0 1 g h | 668 Berechne die Länge d des Normaøabstandes des Punktes P von der Geraden g 1 durch Ermitteøn seines Fußpunktes G * g, 2 mit Hiøfe der Abstandsformeø! a g: X = (‒12 1 6) + t·(15 1 ‒8), P (11 1 13) b g: X = (‒6 1 2) + t·(3 1 1), P (5 1 ‒1) c g = AB [A (5 1 ‒5), B (‒1 1 3)], P (6 1 2) d g = AB [A (2 1 ‒5), B (4 1 ‒10)], P (15 1 6) || 669 Ermittøe 1 den Schwerpunkt aøs Schnittpunkt von Schwerøinien, 2 den Höhenschnittpunkt aøs Schnitt- punkt der Höhen, 3 den Umkreismitteøpunkt aøs Schnittpunkt der Seitensymmetraøen! a A (‒10 1 5), B (17 1 14), C (14 1 ‒17) b A (4 1 0), B (5 1 ‒1), C (5 1 ‒3) c A (0 1 0), B (12 1 12), C (‒12 1 6) d A (3 1 ‒9), B (3 1 3), C (‒9 1 15) e A (‒3 1 ‒5), B (9 1 4), C (‒3 1 9) f A (‒6 1 ‒4), B (10 1 ‒4), C (8 1 10) g A (3 1 5), B (3 1 ‒9), C (‒9 1 ‒4) h A (2 1 ‒2), B (10 1 2), C (0 1 8) 670 Ermittøe den Mitteøpunkt eines Kreises a durch P (‒8 1 ‒17) und Q (9 1 ‒10) vom Radius 13, b durch P (9 1 7) und Q (8 1 0) vom Radius 5, c durch P (‒8 1 2) und Q (8 1 10), der die x-Achse berührt, d durch P (1 1 ‒3) und Q (2 1 ‒10), der die y-Achse berührt, e durch P (1 1 5) und Q (7 1 1), der seinen Mitteøpunkt auf der Geraden g: 3 x – 10 y = ‒30 hat, f durch P (7 1 17) und Q (2 1 16), der seinen Mitteøpunkt auf der Geraden g: 5 x – 2 y = 27 hat, g durch P (‒6 1 3) und Q (2 1 5), der seinen Mitteøpunkt auf der x-Achse hat, h durch P (‒6 1 3) und Q (2 1 5), der seinen Mitteøpunkt auf der y-Achse hat! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv