Reichel Mathematik 7, Schulbuch

172 Nichtlineare analytische Geometrie In diesem Kapitel wirst du Kreise mit Hilfe von Gleichungen beschreiben, sie mit Geraden und auch miteinander schneiden • sowie ihre Tangenten bestimmen, Aufgaben mit Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln lösen, • Kurven und Flächen im Raum wie die Spirallinie oder die Kugelfläche beschreiben. • Wiederholung und Vorschau In der 5 . Klasse haben wir verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden g im R 2 kennen gelernt, und zwar die – Parameterdarstellung von g: X = A + t· _ À a wobei t * R – Normalvektorgleichung von g: _ À n·(X – A) = 0 – Allgemeine Gleichung von g: ax + by = c – Hauptform von g: y = kx + d Beispiel A Die Gerade g geht durch die zwei Punkte A (2 1 3) und B (4 1 ‒1). Bestimme die obigen vier Formen der Geradengøeichung! Lösung: 1. Parameterdarsteøøung von g: __ À AB = “ 4 ‒1 § – “ 2 3 § = “ 2 ‒4 § š “ 1 ‒2 § = _ À a w X = “ 2 3 § + t· “ 1 ‒2 § 2. Normaøvektorgøeichung von g: Gemäß der Kippregeø (vgø. Buch 5. Kø. S. 240) ist “ 2 1 § ein Normaøvektor von “ 1 ‒2 § w “ 2 1 § · “ X – “ 2 3 § § = 0 3. Aøøgemeine Gøeichung von g: Durch Ausmuøtipøizieren der Normaøvektorgøeichung erhaøten wir 2 x + y – (4 + 3) = 0 und somit 2 x + y = 7 4. Hauptform von g: Umformen der Gøeichung von 3. ergibt y = ‒2 x + 7 – Den Schnittpunkt zweier Geraden g und h findet man, indem man jenen Punkt S (x 1 y) sucht, dessen Koordinaten sowohl die Gleichung von g als auch die Gleichung von h erfüllen. – Den Winkel zwischen zwei Geraden g und h erhält man mittels der VW-Formel (vgl. Buch 5. Kl. S. 242) als Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren (bzw. ihren Normalvektoren). – Den Abstand eines Punktes von einer Geraden kann man mittels der HESSE’schen Abstandsformel (vgl. Buch 5. Kl. S. 251) berechnen. Beispiel B Ermittøe 1 die Koordinaten des Schnittpunktes, 2 den Schnittwinkeø der Geraden g: y = ‒2 x + 5 und h: X = “ 2 4 § + t· “ 1 1 § , 3 den Abstand des Punktes P (3 1 4) von der Geraden g! Lösung: 1 Am einfachsten ist es, die Parameterdarsteøøung von h in zwei Gøeichungen aufzuspaøten und sowohø für x aøs auch für y in die Gøeichung der Geraden g einzusetzen: x = 2 + t y = 4 + t w 4 + t = ‒2·(2 + t) + 5 w 3 t = ‒3 w t = ‒1 w S = “ 2 4 § + (‒1)· “ 1 1 § = “ 1 3 § 2 __ À a h = “ 1 1 § , __ À a g = “ 1 ‒2 § , da “ 1 k § Richtungsvektor einer Geraden y = kx + d ist w __ À n g = “ 2 1 § cos φ = __ À a g · __ À a h _____ † __ À a g † · † __ À a h † = “ 1 ‒2 § · “ 1 1 § ___________ 9 _____ 1 2 + (‒2) 2 · 9 ___ 1 2 + 1 2 = 1·1 + (‒2)·1 _______ 9 __ 5·2 = ‒ 1 ___ 9 __ 10 w φ = 108,43° š 71,57° 3 d (P, g) = † __ À AP· __ À n 0 † = † “ “ 3 4 § ‒ “ 0 5 § § · 1 __ 9 _ 5 · “ 2 1 § † = † 1 __ 9 _ 5 · “ 3 ‒1 § · “ 2 1 § † = 9 _ 5 5.0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv